mateforum.ro

Theodor Munteanu wrote:Imi cer scuze pentru neintelegere. Intradevar \( \alpha \in R\backslash Q \cap [0,1] \).

De ce insişti cu \( \alpha \) iraţional când e suficient \( \alpha \in [0,1] \) ?

Trebuie înlocuită condiţia \( \alpha \in R-Q \) cu \( 0 \le \alpha \le 1 \).

opincariumihai wrote:

aleph wrote:Dar dacă \( A=\mathbb{Z}_{4} \) ?

...Atunci produsul elementelor nenule nu este zero.

... Şi deci raţionamentul dvs. trebuie revizuit.

Dar dacă \( A=\mathbb{Z}_{4} \) ?

Se foloseste problema propusa de aceiasi autori: Daca f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} sunt doua functii continue cu proprietatea ca \int_a^bf(x)g(x)=0, atunci \(\int_a^bf^2(x)dx\)\(\int_a^bg^2(x)dx\)\ge \frac{4}{(b-a)^2}\(\int_a^bf(x)dx\)^2\(\int_a^bg(x)dx\)^2 Inegalitatea iniţială nu rezultă de aic...

Cred că e util să fie clarificată definiţia lui z^w pentru z,w complexe, pentru cei care nu au la activ un curs de funcţii complexe. Aceasta cu atât mai mult cu cât există calculatoare de buzunar care operează in mulţimea numerelor complexe. Deci, pentru z un număr complex nenul, se defineşte ramura...

Se considera functia continua f\ :\ (0,b)\ \rightarrow\ (0,1) pentru care \lim_{x\to 0}\ f(x)=1 si exista r\ >\ 0 ca \lim_{x\to 0}\ \frac {1-f(x)}{x^r}=l\ >\ 0\ . Fie sirul x_1\in (0,b)\ ,\ x_{n+1}=f\left(x_n\right)\ ,\ n\in\mathbb N\ . Atunci \left\|\ \begin{array}{c} x_n\ \rightarrow 0\\\\\\\ nx_...

Deci fara derivate, Taylor si ... formula lui Stirling . OK, se poate folosi şiru lui Lalescu ( \sqrt[n+1]{(n+1)!} -\sqrt[n]{n!}\rightarrow \frac{1}{e} ), acesta figurând în unele manuale de liceu. Notând a_{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} rezultă na_{n}\rightarrow e,\ \ n^{2}(a_{n}-a_{n+1})\rightarrow e...

Problema nu este prea dificilă dacă se cunoaşte formula lui Stirling, de unde se obţine \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=\frac{e}{n}-\frac{e\ln n}{2n^{2}}-\frac{\alpha }{n^{2}}+\frac{\varepsilon _{n}}{n^{2}} \frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}=\frac{e}{n}-\frac{e}{n^{2}}-\frac{e\ln n}{2n^{2}}-\frac{\alpha }{n^{2}}+\...

Sunt suficienţi primii 4 termeni ai dezvoltării (vezi Fihtenholţ)

\( \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} \)

adică \( 1-1/4+1/27-1/256 \)

Soluţia este imediată dacă aplicăm:

1. O funcţie integrabilă Riemann este continuă a.p.t.

2. În orice punct de continuitate \( x \) a lui \( f \), funcţia \( F : \ t \mapsto \int_0^t f \) este derivabilă şi \( F^{\prime}(x)=f(x) \).

3. O funcţie nulă a.p.t. are integrala 0.

Este un exemplu tipic de problemă cu soluţie simplă "ddacă" rezolvitorul are cunoştinţe în afara programei. Nu cred că ar trebui încurajată proliferarea unor astfel de probleme.

Pentru un examan de analiză reală soluţia e mult mai scurtă.
Se aplică şirului crescător de funcţii
\( f_n(x) = ( 1-\frac{x}{n})^n x^{a-1} \chi_{(0,n]}(x) \)
teorema convergenţei monotone şi rezultă că limita noastră este
\( \int_0^\infty e^{-x}x^{a-1} dx = \Gamma(a) \ [=(a-1)! ] \).

E suficient ca f să fie continuă şi convexă pe [0, 2\pi] . Da, dar daca e sa fim rigurosi pana la capat, am putea zice f convexa pe [0, 2\pi ] si continua in 0 si 2\pi . Nu e vorba de rigoare; eventual de o mică redundanţă utilizată curent. Pentru funcţii continue pe [a,b] şi derivabile pe (a,b) nu...

E suficient ca f să fie continuă şi convexă pe \( [0, 2\pi] \).

Problema apare în:
Donald J Newman - A problem seminar. Springer 1982.

Dezvoltarea (asimptotică) a fost găsită simplu cu Maple.
Se poate şi manual, scriind
\( \sqrt[n]{n} = e^x \), unde \( x = \ln (n)/n \)
şi dezvoltând Taylor \( e^x \).
Similar (dar cu nişte complicaţii) pentru celălalt termen.