mateforum.ro

Fie a,b,c,d numere reale strict pozitive cu \( abcd=1 \), avand proprietatea \( a\leq1\leq b\leq c\leq d \). Sa se arate ca \( (a+1)(d+1)>3 \).

Gh. Szollosy

Fie \( f:[0,\pi]\rightarrow R \) o functie derivabila. Sa se arate ca exista \( a\in[0,\pi] \) astfel incat\( f^{\prime}(a)-f^{2}(a)<1. \)

GM 12/2008

Fie m, n naturale m, n\( \geq2 \) si m submultimi ale multimii {1,2,...,n} cu proprietatea ca fiecare are un numar impar de elemente iar intersectia oricaror doua distincte are un numar par de elemente. Sa se arate ca \( m\leq n \).

O solutie ar fi sa treci in totul in membrul stang in prima inegaliate,consideri functia si o derivezi. Derivata fiind pozitiva rezulta ca functia este crescatoare si cum x>y rezulta concluzia.
R.P.

Presupunem ca persoanele ocupa varfurile unui poligon regulat A_0 ... A_{2n-1} cu 2n laturi inscris intr-un cerc de centru O, varfurile fiind notate in sens trigonometric. Alegem axa Ox astfel incat sa treaca prim varful A_0 , putem asocia fiecarui varf A_k nr complex z_k de argument \frac{k\pi}{n} ...