mateforum.ro

Fie \( A_1A_2\dots A_n \) un poligon regulat avand raza cercului circumscris egala cu 1. Sa se arate ca pentru orice punct P din plan, avem \( PA_1+PA_2+\cdots +PA_n\geq n \).

Aoleu, credeam ca e ceva elementar, cu \( e \). (stiu ca \( \sinh \) are treaba cu nr \( e \), dar ma asteptam la ceva polinomial). Merci oricum.

Sa se arate ca exista si sa se determine urmatoarea limita:

\( \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) \)

Fie A o matrice patratica de ordin n cu \( \det A=0 \), si fie X o matrice patratica de ordin n cu toate elementele 1.

Sa se arate ca \( \det(A+X)\cdot \det(A-X)\leq 0 \).

Aveti vreo solutie pentru criteriul folosit in solutia a treia?

5. Din inegalitatea mediilor obtinem \frac{x_n}{1+nx_n^{2}}\leq \frac{1}{2\sqrt{x}_n} , deci sirul (x_n) tinde la 0, iar pentru cea de-a doua cerinta, folosind lema lui Cezaro, rezulta ca daca exista limita sirului (nx_n) , atunci ea este egala cu 1 (ne uitam la sirul \frac{n}{\frac{1}{x_n}} ). Pent...

Sa se arate ca o matrice de ordin \( n \) cu elemente doar 1 si -1 are determinantul divizibil cu \( 2^{n-1} \)

Sa se calculeze \( \displaystyle \lim_{x\mapsto 0} \frac{tgx -x}{x^{2}} \)

Sa se calculeze (daca exista, si banuiesc ca exista) \( \displaystyle\lim_{n\mapsto \infty} n\left(\sqrt[n] n- \sqrt[n+1]{n+1} \right) \).

Este adevarat ca pentru orice m natural, exista un \( n>m \) natural, astfel incat \( \{n\sqrt 2\}<0,1 \) si \( \{n\sqrt 3\}<0,1 \)?

Mai intai demonstram prin inductie triviala ca \( a_n<2 \), de unde avem \( \sqrt[4]{a_n+14}>a_n \), deci sirul \( (a_n) \) este crescator, deci are limita finita \( l \) (caci \( (a_n) \) este marginit), si avem \( l^4=l+14 \), de unde \( l=2 \).

Vezi aici.

Insa marginea din dreapta a problemei de la TST este mai tare.

Solutia mea (pt care am luat doar 4 puncte...) Este clar ca g(\frac{x+y}{3})=\frac{g(x)+g(y)}{2} , pt orice x, y . Si g(0)=0 Punem y\to x+y si obtinem g(\frac{2x+y}{3})=\frac{g(x)+g(x+y)}{2} Punem x\to x+y si obtinem g(\frac{x+2y}{3})=\frac{g(y)+g(x+y)}{2} Deci prin adunare obtinem g(\frac{2x+y}{3})...

Hint: Printr-o inversiune de pol \( D \) iese un paralelogram \( DA\prime \)\( E\prime \) \( C\prime \), cu \( B\prime \) mijlocul segmentului \( DE\prime \)...

Fie z=\cos a+ i\sin a, a\in [0;2\pi]. Atunci |1-z|=\sqrt{(1-\cos a)^{2}+\sin^{2} a}=\sqrt 2\cdot\sqrt{1-\cos a}\geq\sqrt{2}, deci inegalitatea din stanga este rezolvata. Apoi |1+z^{2}|=\sqrt{(\cos 2a+1)^{2}+\sin^{2} 2a}=\sqrt{2(1+\cos 2a)}=2\|cos a| . Notam x=\sqrt{1-\cos a}, x\in(0;\sqrt{2}) si tre...

Nu stiu dak am postat unde trebuie :? , dar eu zic ca aici ii e locul: Pentru n>1 fie \displaystyle 1=a_{1}<a_{2}<\dots<a_{\phi{(n})}=n-1 toate numerele naturale mai mici decat n , care sunt prime cu n . Fie \displaystyle g(n)=\max_{1\leq k\leq\phi{(n)}-1} {\left(a_{k+1}-a_{k}\right)} .(cica ii zice...

Fie \( n \) un numar natural nenul. Sa se determine polinoamele \( f \) de grad n cu coeficienti complecsi pentru care \( f(X^{2}+X+1) \) divide \( f(X^{3}-1) \).

Scoala cu Ceas, 2007

Cred ca \( f(X)=a_{n}X^{n} \). Poate cineva sa posteze o solutie completa?