mateforum.ro

Fie K un corp finit. Spunem ca doua polinoame f si g din K[X] sunt vecine daca au acelasi grad dar difera prin exact un coeficient. a) Sa se arate ca toti vecinii polinomului X^2+1\in \mathbb{Z}_3[X] sunt reductibili in \mathbb{Z}_3[X] . b) Daca numarul elementelor lui K este q\geq 4 sa se arate ca ...

Fie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} o functie continua si periodica de perioada T . Daca F este o primitiva a lui f sa se arate ca: a) functia G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} data prin G(x)=F(x)-\frac{x}{T}\int^T_0 f(t)dt este periodica b) \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^n_{k=1} \frac{F(k)}{n^2+k...

Fie \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx \). Sa se arate ca exista \( c \in (0,1) \) astfel incat \( f(c)=\int_0^cf(x)dx \)

Cezar Lupu, Olimpiada judeteana 2008

Sa se calculeze \( I=\int \frac{\arctan x-\frac{x}{x^2+1}}{(x+\arctan x)(x-\arctan x)}dx \) pentru \( x\in(0,\infty) \)

Calculati \( \int \frac{1}{x+\arctan x} dx \).