mateforum.ro

Sa se rezolve peste \( \mathbb N^* \) ecuatiile : \( \left\|\begin{array}{cc}
1. & \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c=1\\\\\\\\
2. & \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c+\frac 1d=1\\\\\\\\
3. & \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c+\frac 1d+\frac 1e=1\end{array}\right\| \)

Vezi in My (math)blog mesajele nr. 5 si 6 din aprilie si mesajul nr. 67 din iulie.

Fie triunghiul \( ABC \) cu circumcercul \( w \) . Notam mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) , \( \{A,N\}=AM\cap w \) , \( P\in BN\cap AC \)

si \( Q\in CN\cap AB \) . Sa se arate ca \( N \) este centrul de greutate al triunghiului \( APQ \) daca si numai daca \( b^2+c^2=2a^2 \) .

Sa se arate ca \( \underline{\overline{\left\|\ \sqrt{abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ \le\ R\cdot (ab+bc+ca)\ \le\ 4R(R+r)^2\ \right\|}} \) si eventual sa se ofere o interpretare geometrica.

Fie numerele reale pozitive a\ ,\ b pentru care a^4\le b^3\ . Sa se arate ca nu exista x\in \mathbb R astfel incat x^4+b=ax\ . Remarca. Cu alte cuvinte, in ipoteza mentionata, x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ x^4+b>ax\ . Se observa usor ca \begin{array}{c} (\forall ) x\ge \sqrt[3] a & \Longrightarr...

Vedeti aici sau in my (math)blog - mesajul 99, problema a treia.

@ Alex 2008. Corect , urata intrare . Mare noroc pe Alonso ca nu a patit-o mai grav, niste coaste rupte. Trebuie sa recunosc ca la acest mondial in lipsa Romaniei am tinut cu Spania si in general cu fotbalul tehnic. Nu am suportat niciodata fotbalul saxon sau german. Observati cat de departe au aju...

@ B.B. (a nu se confunda cu Brigitte Bardot ) Si cine ai fi vrut sa castige, mai exact suporterul carei echipe ai fost ?!

Chiar in orice triunghi ?

Fie triunghiul ABC cu incercul C(I) si circumcercul w . Consideram trei puncte D\in (BC) , E\in (CA) , F\in (AB) pentru care notam \{A,X\}=AD\cap w , \{B,Y\}=BE\cap w , \{C,Z\}=CF\cap w . Sa se arate ca \frac {XA}{XD}+\frac {YB}{YE}+\frac {ZC}{ZF}\ \ge\ \left(\frac {b+c}{a}\right)^2+\left(\frac {c+a...

Fie un triunghi PAB dreptunghic in P . Notam \left\|\ \begin{array}{c} M\in AB\ ,\ PM\perp AB\\\\\\\\ Q\in PA\ ,\ MQ\perp AB\\\\\\\\ R\in AC\ ,\ MR\perp AC\end{array}\ \right\| . Sa se arate ca dreapta QR este o tangenta comuna a cercurilor de diametre [MA] , [MB] . Metoda 1 . Pentru a arata ca o d...

O.K. Poti posta solutia ta si apoi sa soliciti si alte solutii ... Sunt interesat sa aflu ce tehnica folosesti pentru a arata
ca o dreapta este tangenta unui cerc. Dupa aceea voi interveni si eu doar pentru a oferi cateva posibilitati de atac.

Eu as adauga in concluzie si determinarea unghiului ascutit dintre dreptele BC si QR (printr-o functie trigonometrica). Va rog sa nu postati solutii decat dupa expirarea datei pana la care se trimit solutii la acest concurs on-line. Multumesc . In caz contrar nu ar fi fairly si exprima lipsa de cara...

Fie triunghiul ABC inscris in cercul w . Notam \left\|\begin{array}{ccc} D\in (BC) & , & \widehat {DAB}\equiv\widehat{DAC}\\\\\\\\\\\ S\in AD\cap w & , & S\not\equiv A\end{array}\right\| si mijloacele M , N , P ale segmentelor (AB) , (AD) , (AC) respectiv. Sa se arate ca (SM\cap CN)\...

Fie ABC un triunghi cu cercul circumscris w=C(O) si cercul inscris (I) . Cercul (I) atinge BC in punctul D si dreptele AI , AO intalnesc a doua oara cercul (O) in punctele M , S respectiv. Sa se arate ca dreptele MD si SI se intalnesc pe cercul (O) . Demonstratie . Notam punctul de intersectie P in...

ENUNT INITIAL ( gresit !). Sa se arate ca intr-un triunghi A -dreptunghic ABC exista inegalitatea \frac{\tan^2B}{1+\underline{\overline{\left|\sin^2B\right|}}}+\frac{\tan^2C}{1+\cos^2C}\ \ge\ \frac{4}{3} . Si eu tot cu teorema sin. am folosit-o :D Inegalitatea n-am reuşit s-o demonstrez în totalita...

CORECT. De regula este suficient de a oferi un contraexemplu, ceea ce tu ai facut chiar cu prisosinta. Important este insa de a gasi o echivalenta metrica pentru IO=IM , adica toate triunghiurile pentru care aceasta relatie este satisfacuta. In general, \underline{\overline{\left\|\ IO=IM \ \Longle...