mateforum.ro

Fie \( A,\ B\ \in M_{n}(\mathbb{R}) \). Sa se arate ca \( rang\ A\ +\ rang\ B\ \leq\ n \) daca si numai daca exista o matrice inversabila \( X\ \in\ M_{n}(\mathbb{R}) \) astfel incat \( AXB\ =\ O_{n} \).

***, Olimpiada Judeteana 2008

Daca \( A\in \mathbf{M_{2}{(\mathbb{R})}} \), sa se arate ca \( \det(A^{2}+A+I_{2})\geq\frac{3}{4}({1-\det A})^{2} \).

Dan Nedeianu, Olimpiada judeteana 2008

Fie \( n\geq2 \) un numar natural si \( S_{n} \) multimea permutarilor pe \( \{1,\ 2,\ ...\ , \ n} \). Pentru \( s \in S_{n} \) definim \( l(s) = \min |s(i+1) - s(i)|,\ 1 \leq i \leq n-1 \). Sa se determine \( \max\ l(s), \ s \in S_{n} \).

Pentru fiecare \( n\in\mathb{N}^{*} \) definim \( f(n) \) ca fiind exponentul factorului prim 2 in descompunerea in factori primi a lui \( n! \). Sa se arate ca, pentru orice \( a\in\mathb{N}^{*} \), ecuatia \( n-f(n) = a \) are o infinitate de solutii.

Fie a si n doi intregi pozitivi cu \( a\geq(n-1)! \). Sa se arate ca exista numere prime distincte \( p_{1}, p_{2},...,p_{n} \) astfel incat \( p_{i}| a + i, \forall i = 1, 2,...,n. \)

Fie ABCD un patrulater inscriptibil, E mijlocul diagonalei BD si C1, C2, C3, C4 cercurile circumscrise triunghiurilor AEB, BEC, CED, respectiv DEA. Sa se arate ca, daca C4 este tangent la dreapta CD, atunci C1, C2, C3 sunt respectiv tangente la dreptele BC, AB, AD.