mateforum.ro

Pentru ca x_n este marginit, exista si sunt finite \limsup x_n = M si \liminf x_n = m . Fie L limita sirului 3x_n+x_{3n} si fie x_n_k un sir cu limita M . Atunci \lim x_{3n_k}=L-3M , deci L-3M \geq m , adica L \geq 3M+m . Analog deducem ca L \leq M+3m , deci, comparand ultimele doua relatii, m \geq ...

In legatura cu problema postata de Andrei, am gasit problema asta:

Fie \( f:[a,b] \to [a,b] \) o functie continua. Fie \( x_0 \in [a,b] \) si \( x_n=f(x_{n-1}) \), pentru \( n > 0 \). Aratati ca sirul \( x_n \) converge daca si numai daca sirul \( x_{n+1}-x_n \) converge la 0.

Sper sa nu gresesc, dar daca luam x_n=\sin(H_n) , unde H_n este seria armonica pana la n, se verifica conditiile din enunt, dar x_n nu are limita. In primul rand, sirul este evident marginit, iar x_{n+1}-x_n=2\sin \frac{1}{2(n+1)} cos (H_n+\frac{1}{2(n+1)}) , deci \lim( x_{n+1}-x_n)=0 . Pe de alta p...

Cred ca n>3.

Eu am intalnit teorema folosita de Bogdan sub numele de Teorema lui Turan (e de fapt unul din multele rezultatele ale lui Turan, folosita pentru a demonstra celebra teorema care ii poarta numele). Ea apare la pagina 248 in "Additive Combinatorics" de Terence Tao si Van Vu, de la Cambridge ...

Daca notez cu D punctul de tangenta dintre cele doua cercuri si cu M si N mijloacele arcurilor AC si AB, atunci D, T si M sunt coliniare (omotetia de centru D care duce C(DST) in C(ABC) duce T in M). Aplicand teorema lui Pascal pentru hexagonul ANBDCM inscris in C(ABC) obtinem ca S, I, T sunt colini...

Pe data de 15 noiembrie a avut loc concursul de mate-fizica "Vranceanu-Procopiu". Si in acest an in cadrul concursului a avut loc o proba de baraj tip OIM. Subiectele sunt cele de mai jos: Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Poate ne ajuta cineva si cu rezultatele :)

Determinati numarul natural k, maxim cu proprietatea: pentru orice partitie a lui \( N^{*} \) in k multimi, exista o mutime a partitiei care contine 3 numere, nu neaparat distincte, x,y,z, ce satisfac \( x+2y=4z \).

Problema 4, Vranceanu-Procopiu 2008

Intr-un poligon convex oricare trei varfuri consecutive se gasesc pe un cerc de raza mai mica decat 1. Aratati ca discurile inchise de raza 1, cu centrele in varfurile poligonului, il acopera pe acesta in intregime.

Problema 3, Vranceanu-Procopiu 2008

Fie D un punct pe latura BC a triunghiului ABC si fie O_1 si O_2 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ADC. Mediatoarea segmentului AC taie dreapta AO_1 in E, iar mediatorea laturii Ab taie dreapta AO_2 in F. Demonstrati ca bisectoarele interioare ale unghiurilor O_1EO_2 si ...

Determinati functiile \( f:R\rightarrow R \) care satisfac relatia:

\( f(xy) \leq xf(y) \), pentru orice \( x,y \in R \).

Problema 1, Vranceanu-Procopiu 2008

\( f(x)=\frac{1}{x} \) verifica... demonstreaza ca este descrescatoare si apoi incearca sa arati ca \( f(1)=1 \). De aici e mai simplu.

Pe laturile unui poliedru convex desenam cate o sageata a.i. sa existe macar o sageata care vine in acel varf si macar una care pleaca. Demonstrati ca putem gasi o fata a poliedrului a.i. laturile sale sa formeze un circuit.

Sa consideram un polinom g cu coeficienti complecsi a.i. f(X^3-1)=f(X^2+X+1)g(X) si fie y radacina cu modulul maxim al lui f. De asemenea, notam cu x_1,x_2,t_1,t_2 solutiile ecuatiei x^2+x+1=y , respectiv t_i=x_i^3-1 . Cum f(t_i)=f(y)g(x_i) avem |t_i|\leq |y| . Dar t_i=x_i \cdot y si t_1 +t_2=(x_1+x...

Gasiti toate functiile \( f:R_+^*\rightarrow R_+^* \) astfel incat: \( f(f(x)+y)=xf(1+xy) \) .

[Enunt corectat de catre moderator.]

Fie P_1,...,P_n puncte in plan. Notam cu d cea mai mica distanta nenula dintre aceste doua puncte. Demonstrati ca nu exista mai mult de 3n-6 perechi de puncte pentru care \( P_iP_j=d \).