Fie \( A \) o matrice de ordin \( n \) cu elemente reale, avand proprietatea ca \( A^{2007}+A^{2008}+A^{2009}=O_n \). Notam \( B=I_n+A+A^2 \). Sa se demonstreze ca matricea \( I_n-AB \) este inversabila.
GMB, subiectul 1, OLM 2009 Constanta
Matrice inversabila
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Andrei Velicu
- Euclid
- Posts: 27
- Joined: Wed Oct 17, 2007 9:20 am
- Location: Constanta
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Daca \( \lambda \) este o valoare proprie a lui X atunci \( \lambda^k=0 \) deci X are toate valorile proprii nuleRadu Titiu wrote:O problema clasica, mai generala: daca \( X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) este o matrice nilpotenta (i.e. exista k natural a.i. \( X^k=0 \)), atunci \( \det (X+I_n)=1 \).
Asadar \( P(y)=\det(yI_n-X)=y^n \) si atunci \( P(-1)=\det(-I_n-X)=(-1)^n \) si de aici concluzia.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Re: Matrice inversabila
Se arata ca \( (AB)^{2007}=O_n \) apoiAndrei Velicu wrote:Fie \( A \) o matrice de ordin \( n \) cu elemente reale, avand proprietatea ca \( A^{2007}+A^{2008}+A^{2009}=O_n \). Notam \( B=I_n+A+A^2 \). Sa se demonstreze ca matricea \( I_n-AB \) este inversabila.
GMB, subiectul 1, OLM 2009 Constanta
\( I_n=I_n-O_n=I_n-(AB)^{2007}=(I_n-AB)(I_n+AB+...+(AB)^{2006}) \)