Triunghi dreptunghic isoscel.

[Virgil Nicula]

Fie \( \triangle ABC \) pentru care \( C=90^{\circ} \) si \( CA=CB\ . \) Consideram punctul \( D\in (AC) \) pentru care

\( DA=2\cdot DC \) si punctul \( M\in (BD) \) pentru care \( \widehat {MCB}\equiv\widehat {MBA}\ . \)Sa se arate ca \( MA\perp MC\ . \)

[Marius Mainea]

Fie \( E=CM\cap AB \)

Atunci \( \angle BEC=\angle ADB \) de unde patrulaterul \( ADME \) este inscriptibil

Deasemenea \( \triangle ADB\sim\triangle BEC \) de unde \( AE=\frac{2}{3}AB \)

Asadar \( DE\parallel BC \) deci \( \angle AME=\angle ADE=\angle ACB=90^{\circ} \)