Triunghi si Bisectoare (sursa: GM)

[Oprea]

Fie ABC un triunghi obtuzunghic, m(<BAC)=120. Punctele M, N respectiv P sunt picioarele bisectoarelor din A, B, C pe laturile BC, AC, AB. Sa se arate ca m(<BNM)=30.

[Virgil Nicula]

Fie \( ABC \) un triunghi pentru care \( m(\angle BAC)=120^{\circ} \) . Punctele \( M \) , \( N \) , \( P \) sunt picioarele

bisectoarelor din \( A \) , \( B \) , \( C \) pe laturile \( [BC] \) , \( [CA] \) , \( [AB] \) respectiv. Sa se arate ca \( m(\angle BNM)=30^{\circ} \) .

Observatie. Aceasta problema este cunoscuta ca facand parte din proprietatile generate
de ipoteza \( A=120^{\circ} \) . Sursa este ambigua deoarece nu precizeaza anul si eventual autorul.

Dem. Notam incentrele \( I \) , \( R \) ale triunghiurilor \( ABC \) , \( ABM \) respectiv. Se observa ca \( AR\perp AN \) ,

adica \( [AN \) este bisectoarea exterioara din varful \( A \) in \( \triangle ABI \) ceea ce inseamna \( \frac {RB}{RI}=\frac {NB}{NI} \) .

Deci si \( [MR \) , \( [MN \) sunt bisectoarele (interioara si exterioara) din varful \( M \) in \( \triangle BMI \) .

Deci \( MR\perp MN \) , adica patrulaterul \( ARMN \) este inscris in cercul de diametru \( [RN]\ \Longrightarrow \)

\( \widehat{BNM}\equiv\widehat{RNM}\equiv\widehat{RAM}\ \Longrightarrow\ m(\widehat{BNM})=30^{\circ} \) - concluzia problemei.

Generalizare. Fie \( ABC \) un triunghi pentru care \( m(\angle BAC)\ >\ 90^{\circ} \) . Consideram

bisectoarea interioara \( [BN \) din varful \( B \) unde \( N\in (AC) \) si punctul \( M\in (BC) \)

pentru care \( m(\widehat {MAC})\ =\ 180^{\circ}-A \) . Sa se arate ca \( m(\angle BNM)=A-90^{\circ} \) .

Se demonstreaza asemanator situatiei particulare \( A=120^{\circ} \) (problema propusa). Extinderea
asta merita sa o propun chiar la O.J., clasa a VII -a, daca postai cu o saptamana inainte, Oprea !