a) Să se arate că, dintre cinci numere naturale oarecare, se pot alege trei numere cu suma divizibilă cu 3.
b) Să se arate că, dintre 17 numere naturale oarecare, se pot alege nouă numere cu suma divizibilă cu 9.
Concursul "Al. Myller" problema 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
a) se separa cele 5 numere in 3 siruri numite si clase de resturi obtinute la impartirea cu 3
-avem urmatoarele posibilitati :
a1) 5 sau 4 sau 3 dintre ele apartin uneia din cele 3 clase ; atunci se aduna 3 dintre ele si se obtine un multiplu de trei.
a2) maxim doua apartin uneia dintre cele 3 clase; atunci nici una din cele trei clase nu e vida si atunci adunam cate un element din fiecare si se obtine un multiplu de trei.
b) acest punct l-am rezolvat in varianta in care nu erau 17 numere oarecare ci 25 astfel: se separa cele 25 numere in 5 grupe de cate 5 si se aplica punctul a) astfel obtinem 5 numere de forma 3k; 3p; 3q; 3m; 3n iar apoi se aplica din nou punctul a) numerelor k, p, q, m, n.
-avem urmatoarele posibilitati :
a1) 5 sau 4 sau 3 dintre ele apartin uneia din cele 3 clase ; atunci se aduna 3 dintre ele si se obtine un multiplu de trei.
a2) maxim doua apartin uneia dintre cele 3 clase; atunci nici una din cele trei clase nu e vida si atunci adunam cate un element din fiecare si se obtine un multiplu de trei.
b) acest punct l-am rezolvat in varianta in care nu erau 17 numere oarecare ci 25 astfel: se separa cele 25 numere in 5 grupe de cate 5 si se aplica punctul a) astfel obtinem 5 numere de forma 3k; 3p; 3q; 3m; 3n iar apoi se aplica din nou punctul a) numerelor k, p, q, m, n.