Patrat perfect

[Marius Mainea]

Demonstrati ca pentru orice \( n\in\mathbb{N}^{\ast} \) , cel putin unul din numerele

n, n+1, n+2,..., 2n

este patrat perfect.

[Marius Mainea]

Indicatie:
Presupunem prin absurd \( k^2\le n-1<2n+1\le(k+1)^2 \).

[Andi Brojbeanu]

Presupunem prin absurd ca niciunul dintre numerele \( n, n+1, n+2, ...., 2n \) nu este patrat perfect. Atunci fiecare numar se va situa intre doua patrate perfecte consecutive.
Observam ca \( n-1<n, n+1, n+2, ...., 2n<2n+1 \).
Fie \( k^2 \) si \( (k+1)^2 \), \( k\in \mathb{N} \) cele doua patrate perfecte consecutive intre care se situeaza fiecare dintre numerele \( n, n+1, n+2, ..., 2n \). Atunci, conform presupunerii facute, este necesar ca \( k^2\leq n-1<a_n<2n+1\leq(k+1)^2 \), unde \( a_n \in \{n, n+1, n+2, ......, 2n\} \).
Deci, avem:\( k^2\leq n-1<a_n<2n+1\leq(k+1)^2 \).
Din \( k^2\leq n-1 \)obtinem ca: \( n\geq k^2+1^{(1)} \).
Din \( 2n+1\leq (k+1)^2 \) obtinem ca \( n\leq \frac{(k+1)^2-1}{2}=\frac{k^2+2k+1-1}{2}=\frac{k^2+2k}{2}^{(2)} \).
Din relatiile \( (1),(2) \), avem:\( k^2+1\leq\frac{k^2+2k}{2}\Rightarrow 2k^2+2\leq k^2+2k\Rightarrow k^2+2-2k\leq 0\Rightarrow (k^2-2k+1)+1\leq 0\Rightarrow (k-1)^2\leq -1 \), fals.
Rezulta ca presupunerea facuta este falsa, deci cel putin unul din numerele \( n, n+1, n+2, ....., 2n \) este patrat perfect.