Traian Lalescu pentru Studenti 2009, Problema 3

[Beniamin Bogosel]

Demonstrati ca oricare ar fi \( n\geq 2 \) si numerele strict pozitive \( x_1,x_2,...,x_n \) cu suma 1, avem
\( \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{1+k(x_1^2+x_2^2+...+x_k^2)} <\frac{\pi}{4}, \)
iar constanta din dreapta este cea mai mica cu aceasta proprietate.

[Laurentiu Tucaa]

Problema e super
Din CBS avem \( k\cdot\sum_{i=1}^k x_i^2\ge (\sum_{i=1}^k x_i)^2 \).(1)
Fie \( S=\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{1+k(x_1^2+x_2^2+...+x_k^2)} \).
Aplicand (1) pt k de la 1 la n avem \( S<\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{1+(x_1+x_2+...+x_k)^2} \).Acum intervine matematica de a12a:fie diviziunea \( \Delta=(0,x_1,x_1+x_2,...,x_1+...+x_n=1) \) si functia \( f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{1+x^2} \).Fie si \( t_0=0,t_k=\sum_{i=1}^k x_i \).Avem ca f este strict descrescatoare si suma Darboux inferioara asociata diviziunii d si functiei f este strict mai mica decat \( \int_0^1 f(x)dx=\frac{\pi}{4} \).Suma Darboux inferioara este \( s(f,\Delta)=\sum_{k=1}^n (t_k-t_{k-1})f(t_k)=\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{1+(x_1+x_2+...+x_k)^2} \).Avem deci \( S<s(f,\Delta)<\frac{\pi}{4} \).
Prin trecere la limita cand \( n\rightarrow\infty \),e clar ca \( \frac{\pi}{4} \) e constanta cea mai mica cu aceasta proprietate.

[Theodor Munteanu]

Suma Darboux inferioara e mai mica tot timpul decat integrala,nu cea superioara.