IMAC 2009, Problema 3

[Mr. Ady]

Determinati numerele naturale n care verifica relatia: \( 1 + 5^n +6^n = 2^n + 3^n + 7^n \).

[Mateescu Constantin]

Sa se rezolve in \( \mathbb N \) ecuatia : \( 1\ +\ 5^n\ +\ 6^n\ =\ 2^n\ +\ 3^n\ +\ 7^n\ . \)

\( n=0 \) , \( n=1 \) , \( n=2 \) verifica in mod evident enuntul . Sa demonstram ca pentru \( n\ge 3 \) nu avem solutii .

\( 5^n\ +\ 6^n=5^{n-3}\ \cdot\ 5^3\ +\ 6^{n-3}\ \cdot\ 6^3\ \le\ 7^{n-3}\ \cdot\ 5^3\ +\ 7^{n-3}\ \cdot\ 6^3=7^n\left(\frac{5^3}{7^3}\ +\ \frac{6^3}{7^3}\right)=7^n\ \cdot\ \frac{341}{343}\ <\ 7^n \)

Asadar \( 5^n\ +\ 6^n\ <\ 7^n \) si cum \( 1\ <\ 2^n\ +\ 3^n\ \Longrightarrow\ LHS\ <\ RHS\ ,\ n\ge 3 \) . In concluzie \( n\in\{\ 0\ ,\ 1\ ,\ 2\ \} \) .

[Mr. Ady]

Frumoasa rezolvare