Aratati ca orice matrice reala antisimetrica \( {A}\in{M_{n}(\mathbb{R})} \) satisface inegalitatea
\( \det(I_{n}+A)\geq1 \).
Admitere SNSB, 2001
det(I+A)>=1 pentru matrice antisimetrica
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Diana Putan
- Euclid
- Posts: 31
- Joined: Wed Sep 26, 2007 11:37 pm
- Location: Bucuresti
-
Ciprian Oprisa
- Pitagora
- Posts: 55
- Joined: Tue Feb 19, 2008 8:01 pm
- Location: Lyon sau Cluj sau Baia de Cris
Well, o matrice antisimetrica are toate valorile proprii pur imaginare. In plus, daca \( \lambda \) e valoare proprie, atunci si \( \overline{\lambda} \) e valoare proprie, deoarece matricea e reala.
\( f_A(x)=(x-x_1)(x-\overline{x_1})\ldots(x-x_k)(x-\overline{x_k})x^p \), deoarece pot fi si unele valori proprii 0.
\( \Rightarrow f_A(x)=(x-ia_1)(x+ia_1)\ldots(x-ia_k)(x+ia_k)x^p=(x^2+a_1^2)\ldots(x^2+a_k^2)x^p \)
\( \det(I_n+A)=(-1)^n\det(-I_n-A)=(-1)^nf_A(-1)=(-1)^{n+p}(1+a_1^2)\ldots(1+a_k^2)\geq1 \), deoarece \( p \) si \( n \) au aceeasi paritate, iar \( a_1,\ldots, a_k \) sunt reale.
\( f_A(x)=(x-x_1)(x-\overline{x_1})\ldots(x-x_k)(x-\overline{x_k})x^p \), deoarece pot fi si unele valori proprii 0.
\( \Rightarrow f_A(x)=(x-ia_1)(x+ia_1)\ldots(x-ia_k)(x+ia_k)x^p=(x^2+a_1^2)\ldots(x^2+a_k^2)x^p \)
\( \det(I_n+A)=(-1)^n\det(-I_n-A)=(-1)^nf_A(-1)=(-1)^{n+p}(1+a_1^2)\ldots(1+a_k^2)\geq1 \), deoarece \( p \) si \( n \) au aceeasi paritate, iar \( a_1,\ldots, a_k \) sunt reale.
Un lucru este ceea ce este, nu ceea ce pare a fi.