Unitatile completatului lui Z

[Dragos Fratila]

Notam cu \( \hat{\mathbb {Z}} \) completatul lui \( \mathbb{Z} \) in topologia profinita, i.e. limita proiectiva din Z/nZ. Acesta mai poate fi privit si ca grupul Galois (absolut) al lui \( \overline{F_p}/F_p \), pentru orice \( p \) prim sau ca produsul direct al tuturor inelelelor de intregi p-adici cu p prim.

Demonstrati ca unitatile lui \( \hat Z \) sunt exact acele elemente care se afla in inchiderea topologica a numerelor prime si nu sunt numere prime, i.e. multimea \( \overline{\{p,p\; \textrm{prim}\}}\setminus \{p,p\; \textrm{prim}\} \).