Concursul "Al. Myller" problema 4

[Bogdan Cebere]

Fie \( f : R \to R \) o funcţie continuă pe \( Q \), cu proprietatea \( f(x)<f(x+{\frac{1}{n}}) \) pentru orice \( x \in R \) şi orice \( n \in N^* \). Să se demonstreze că \( f \) este strict crescătoare pe \( R \).

Gabriel Mârşanu, Mihai Piticari

[Radu Titiu]

Prin inductie se poate arata ca \( f(x)<f(1+\frac{k}{n}) \) pentru orice k, n numere naturale nenule. Adica (*) \( f(x)<f(x+r) ,\forall x \in \mathbb{R},\forall r \in \mathbb{Q}_+ \) relatie din care rezulta ca f este strict crescatoarea pe \( \mathbb{Q} \).
Fie x un numar real si fie \( a \in \mathbb{Q}, a>x \) si \( \alpha \in \mathbb{R-Q},\alpha=a-x \). Deoarece multimea nr. rationale este densa in multimea numerelor reale rezulta ca exista un sir de numere rationale strict pozitive \( r_n \rightarrow \alpha \). Din relatia (*) avem \( f(x)<f(x+r_n) \) si trecand la limita obtinem:
\( f(x)<\lim_{n\to\infty} f(x+r_n)=\lim_{t\to a}f(t)=f(a) \), deci f(x)<f(a) \( \forall x\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{Q} \) cu proprietatea ca x<a.
In mod analog , folosind relatia \( f(x-r)<f(x),\forall x \in \mathbb{R},\forall r\in \mathbb{Q}_+ \) se obtine \( f(a)<f(x) \) unde a<x, x real si a rational.
Acestea impreuna cu faptul ca f este strict crescatoare pe \( Q \) rezolva problema.