Fie un triunghi echilateral \( ABC \) si punctele \( A_1,A_2 \) pe latura \( BC \), \( B_1,B_2 \) pe \( AC \), \( C_1C_2 \) pe \( AB \) astfel incat hexagonul format de cele 6 puncte sa aiba toate laturile egale. Demonstrati ca diagonalele acestul hexagon sunt concurente.
Bogdan Enescu, IMO 2005 problema 1
IMO 2005 problema 1
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Solutia mea( schitata);
-mai intai, construind un triunghi echilateral \( A_1A_2P \) in interiorul celui mare, obtinem ca si triunghiul \( B_2PC_1 \) este echilateral, si astfel se poate demonstra ca triunghiurile \( A_1BC_2,\ B_1CA_2,\ C_1AB_2 \) sunt asemenea;
-consideram simetria axiala fata de o dreapta care trece prin \( B_2 \) si care transforma \( C_1 \) in \( B_1 \). Dupa putine observatii, rezulta ca axa de simetrie este, de fapt \( A_1B_2 \), adica una dintre diagonalele hexagonului. Evident, aceasta va fi o axa de simetrie a hexagonului. Analog se arata ca si celelalte diagonale sunt axe de simetrie ale hexagonului. Din o problema cunoscuta, axele de simetrie sunt concurente, deci si diagonalele sunt concurente.
banuiesc ca nu e cea mai simpla solutie, dar aceasta solutie arata si cum se poate construi o astfel de configuratie, cele 6 puncte fiind intersectiile dintre triunghiul initial, si un alt triunghi echilateral obtinut printr-o anumita simetrie axiala a celui initial.
Foarte interesanta configuratia de puncte...
-mai intai, construind un triunghi echilateral \( A_1A_2P \) in interiorul celui mare, obtinem ca si triunghiul \( B_2PC_1 \) este echilateral, si astfel se poate demonstra ca triunghiurile \( A_1BC_2,\ B_1CA_2,\ C_1AB_2 \) sunt asemenea;
-consideram simetria axiala fata de o dreapta care trece prin \( B_2 \) si care transforma \( C_1 \) in \( B_1 \). Dupa putine observatii, rezulta ca axa de simetrie este, de fapt \( A_1B_2 \), adica una dintre diagonalele hexagonului. Evident, aceasta va fi o axa de simetrie a hexagonului. Analog se arata ca si celelalte diagonale sunt axe de simetrie ale hexagonului. Din o problema cunoscuta, axele de simetrie sunt concurente, deci si diagonalele sunt concurente.
banuiesc ca nu e cea mai simpla solutie, dar aceasta solutie arata si cum se poate construi o astfel de configuratie, cele 6 puncte fiind intersectiile dintre triunghiul initial, si un alt triunghi echilateral obtinut printr-o anumita simetrie axiala a celui initial.
Foarte interesanta configuratia de puncte...
