Caracterizare pentru functii injective

[Beniamin Bogosel]

Fie \( f:X \to Y \) o functie. Demonstrati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) \( f \) este injectiva;
b) \( \forall A \in \mathcal{P}(X)\Rightarrow A=f^{-1}(f(A)) \);
c) \( f(A\cap B)=f(A)\cap f(B),\ \forall A,B \in \mathcal{P}(X) \);
d) \( \forall A,B \in \mathcal{P}(X)\textrm{ cu }A\cap B=\emptyset\Rightarrow f(A)\cap f(B)=\emptyset \);
e) \( \forall A \in \mathcal{P}(X)\Rightarrow f(X \setminus A)\subseteq Y\setminus f(A) \);
f) \( \forall A,B \in \mathcal{P}(X)\textrm{ avem }f(A) \subseteq f(B) \Rightarrow A \subseteq B \);
g) \( \forall A,B \in \mathcal{P}(X)\textrm{ avem }f(A \setminus B)=f(A) \setminus f(B) \);
h) \( \forall Z \textrm{ o multime oarecare si }\forall g,h:Z \to X \textrm{ avem } f\circ g=f \circ h\Rightarrow g=h \);
i) \( \exists g_{0}:Y \to X \textrm{ surjectiva cu } g_{0}\circ f=1_{X} \);
j) \( f_{\ast}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y) \) este injectiva, unde \( f_{\ast}(A)=f(A),\ \forall A \in \mathcal{P}(X) \);
k) \( f^{\ast}:\mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X) \) este surjectiva, unde \( f^{\ast}(B)=f^{-1}(B),\ \forall B \in \mathcal{P}(Y) \);
l) \( \forall (A_{\alpha})_{\alpha \in I} \subset \mathcal{P}(X) \Rightarrow f(\bigcap_{\alpha \in I}A_{\alpha})=\bigcap_{\alpha \in I}f(A_{\alpha}). \)