Ecuatii Diferentiale, anul II, semestrul 1, 30 ianurie 2008
Posted: Wed Jan 30, 2008 4:47 pm
Examen: Ecuatii diferentiale ordinare
Profesor: A. Cernea
1. Ecuatii afine pe \( \mathbb{R}^{n} \). Principiul variatiei constantelor. Consecinte.
2. Fie ecuatiile:
\( (1)\; \left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x}{t}-\frac{y}{t}\\
y\prime=\frac{x}{t}+\frac{3y}{t}\end{array} \)
\( (2)\; \left{\begin{array}{c}
u\prime=u-v\\
v\prime=u+3v\end{array} \)
a) Sa se arate ca schimbarea de variabila \( t=e^s \) transforma ecuatia (1) in ecuatia (2).
b) Scrieti relatia dintre solutiile celor doua ecuatii.
c) Enuntati teorema de structura a solutiilor pentru ecuatii liniare cu coeficienti constanti pe \( \mathbb{R}^n \).
d) Aflati solutia generala a ecuatiei (2).
e) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).
3. Se considera ecuatia
\( (1)\left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x^2-2t}{y}\\
y\prime=-x\end{array} \)
a) Definiti notiunea de integrala prima si enuntati criteriul pentru integrale prime.
b) Aratati ca \( F_{1}(.,.) \) cu \( F_{1}(t,(x,y))=t^2+xy \) este integrala prima.
c) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).
d) Gasiti \( F_{2}(.,.) \) integrala prima astfel incat \( \{F_{1},F_{2}\} \) sa fie functional independente.
4. Sa se rezolve problema la limita
\( (y-x)p+(x-z)q-2z=0 \), avand conditiile initiale \( x=0, z=-\frac{y}{2} \).
Profesor: A. Cernea
1. Ecuatii afine pe \( \mathbb{R}^{n} \). Principiul variatiei constantelor. Consecinte.
2. Fie ecuatiile:
\( (1)\; \left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x}{t}-\frac{y}{t}\\
y\prime=\frac{x}{t}+\frac{3y}{t}\end{array} \)
\( (2)\; \left{\begin{array}{c}
u\prime=u-v\\
v\prime=u+3v\end{array} \)
a) Sa se arate ca schimbarea de variabila \( t=e^s \) transforma ecuatia (1) in ecuatia (2).
b) Scrieti relatia dintre solutiile celor doua ecuatii.
c) Enuntati teorema de structura a solutiilor pentru ecuatii liniare cu coeficienti constanti pe \( \mathbb{R}^n \).
d) Aflati solutia generala a ecuatiei (2).
e) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).
3. Se considera ecuatia
\( (1)\left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x^2-2t}{y}\\
y\prime=-x\end{array} \)
a) Definiti notiunea de integrala prima si enuntati criteriul pentru integrale prime.
b) Aratati ca \( F_{1}(.,.) \) cu \( F_{1}(t,(x,y))=t^2+xy \) este integrala prima.
c) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).
d) Gasiti \( F_{2}(.,.) \) integrala prima astfel incat \( \{F_{1},F_{2}\} \) sa fie functional independente.
4. Sa se rezolve problema la limita
\( (y-x)p+(x-z)q-2z=0 \), avand conditiile initiale \( x=0, z=-\frac{y}{2} \).