mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie care are limita finita in orice punct din \( [0,1] \). Sa se arate ca \( f \) este integrabila.

Intrucat f are limita finita in orice punct, e marginita. De asemenea, nu are discontinuitati de speta a doua. Cum multimea discontinuitatilor de speta I e numarabila (Froda), e deci neglijabila Lebesgue, deci din criteriul lui Lebesgue obtinem ca f e integrabila Riemann.

Sunt curios de o solutie care sa nu faca apel la T. Froda.

O prima observatie ar fi aceea ca Teorema lui Froda nu prea e a lui Froda! Tu insuti ai postat aici, unde regretatul profesor Alexandru Lupas a incercat sa puna lucrurile in ordine, deci ar cam trebui sa stii asta.

A doua observatie ar fi ca solutia data merge si pentru functii care au limite laterale finite in orice punct, enunt care nu prea apare prin culegeri poate din cauza ca solutia prezentata in mod uzual nu se bazeaza pe teorema referitoare la numarabilitatea punctelor de discontinuitate de speta I. Acum nu-mi ramane decat sa te trimit catre o culegere de probleme de calcul integral in care se gaseste aceasta problema ca sa vezi o alta solutie. In principiu se considera functia \( g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) data prin \( g(x)=\lim_{t\to x}f(t) \) care este continua, etc.