mateforum.ro

În triunghiul \( ABC \), \( [AD] \) este bisectoarea unghiului \( A, \ D \in (BC) \), iar \( G_1 \) şi \( G_2 \) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor \( ABD \) şi respectiv \( ACD \). Notând cu \( I \) centrul cercului înscris în triunghiul \( ABC \), să se arate că punctele \( G_1, \ G_2 \) şi \( I \) sunt coliniare dacă şi numai dacă \( AB+AC=2BC \).

Marius Perianu, OLM 2008 Olt

Daca \( G_{1},I,G_{2} \) sunt coliniare atunci evident \( \vec{AI}=\frac{2}{3} \vec{AD}=\frac{2b}{3(b+c)}\vec{AB}+\frac{2c}{3(b+c)}\vec{AC} \) iar \( \vec{AG_{1}}=\frac{3b+c}{2(b+c)}\vec{AB}+\frac{2c}{2(b+c)}\vec{AC} \) si \( \vec{AG_{2}}=\frac{2b}{2(b+c)}\vec{AB}+\frac{3c+b}{2(b+c)}\vec{AC} \)si apoi putem exprima \( \vec{G_{1}I}=\vec{AI}-\vec{AG_{1}} \) si \( \vec{G_{2}I}=\vec{AI}-\vec{AG_{2}} \) si e de ajuns sa punem conditia ca cei 2 coeficienti sa fie proportionali pentru ca vectorii \( \vec{G_{1}I} \) si \( \vec{G_{2}I} \) sa fie coliniari (sper sa nu fi gresit la calcule ). Reciproc se foloseste conditia \( 2a=b+c \) si se poate arata ca dreptele \( G_{1}I, G_{2}I \) sunt paralele cu \( BC \), de unde concluzia.

Observatie. Surprinzator (sau nu) problema ramane valabila si daca \( D \) este mijlocul laturii \( BC \). Atunci \( G_{1},I,G_{2} \) sunt coliniare \( \Leftrightarrow 2a=b+c \), unde \( G_{1},G_{2} \) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor \( ABD \) si \( ACD \). Rationamentul este intrutotul similar celui de mai sus.

Sunt 2 proprietati cunoscute:
1) Daca \( 2a=b+c \)atunci \( IG||BC \)
2) Daca \( 3a=b+c \) atunci \( IG\perp BC \).