mateforum.ro

Să se demonstreze că pentru orice număr natural \( n \geq 2 \) are loc inegalitatea \( \frac{1}{2 sqrt {2!}}+\frac{1}{3 \sqrt[3] {3!}}+...+\frac{1}{n \sqrt[n] {n!}}> \frac {n-1}{n+1}. \)

Ion Guşatu, OLM 2008 Olt

Inegalitatea se demostreaza prin inductie dupa \( n \).

Din inegalitatea mediilor \( \frac{1}{{k\sqrt[k]{{k!}}}} > \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}}, \) apoi se insumeaza si rezulta concluzia.