mateforum.ro

*(un indiciu doar)
Demonstrati ca exista subcorp al lui R care este nemasurabil.

Problema este interesantă şi nu prea uşoară. A fost rezolvată de Suslin in 1923(!).
De fapt Suslin a construit un subcorp propriu nenumărabil al lui R, care însă este măsurabil Lebesgue. Modificarea construcţiei pentru subcorp nemăsurabil aparţine lui Kuratowski după o idee a lui Zygmund (inducţie transfinită) în articolul (postum) al lui Suslin din Fundamenta Mathematica.

Uite o constructie folosind inductie transfinita:

Daca e subcorp, atunci e subgrup, deci inchis la adunare. Daca \( A\subseteq\mathbb R \) e o submultime masurabila de masura nenula, atunci e un fapt binecunoscut ca \( A+A \) contine un interval, deci nu exista subgrupuri proprii ale lui \( \mathbb R \) care contin multimea \( A \). Rezulta deci ca e suficient sa construim un subcorp propriu al lui \( \mathbb R \) care sa nu aiba masura Lebesgue nula. Orice multime de masura Lebesgue nula este inclusa intr-o multime de masura nula care e si de tip \( G_\delta \) (intersectie numarabila de deschisi). Asta o sa construim: un subcorp propriu al lui \( \mathbb R \) care nu este continut in nici o multime \( G_\delta \) de masura nula.

Fie \( \alpha \) cel mai mic numar ordinal de cardinal \( 2^{\aleph_0} \). Colectia tuturor multimilor \( G_\delta \) de masura nula are cardinal \( 2^{\aleph_0} \), deci poate fi identificata cu \( \alpha \). Fixam un numar transcendent \( t \). Acum construim corpul dorit \( K \) prin inductie transfinita: Punem \( K_0=\mathbb Q \). Fie acum \( \beta<\alpha \) si sa presupunem ca am construit \( K_\gamma,\ \gamma<\beta \) astfel incat \( t\not\in K_\gamma \) pentru toti \( \gamma<\beta \), si in plus, pentru toate aceste numere ordinale \( \gamma \), corpul \( K_\gamma \) are cardinal cel mult maximul dintre \( \aleph_0 \) si cardinalul lui \( \gamma \). Notam acum cu \( L \) reuniunea tuturor corpurilor \( K_\gamma,\ \gamma<\beta \). Cardinalul lui \( L \) nu depaseste maximul dintre cardinalul lui \( \beta \) si \( \aleph_0 \), maxim care este mai mic decat \( 2^{\aleph_0} \). Cum complementul in \( \mathbb R \) al multimii \( G_\delta \) (de masura Lebesgue nula) pe care am identificat-o cu \( \beta \) are cardinal \( 2^{\aleph_0} \), se gaseste \( x \) in acest complement astfel incat \( t\not\in L(x) \). Corpul \( K_\beta \) construit la pasul \( \beta \) va fi chiar \( L(x) \). In sfarsit, corpul nostru \( K \) va fi reuniunea tuturor corpurilor \( K_\beta,\ \beta<\alpha \). \( K \) este propriu pentru ca nu il contine pe \( t \), si nu e continut in nici o multime \( G_\delta \) de masura nula.

Demonstraţiile date de grobber sunt foarte frumoase şi concise.
Cei interesaţi pot citi şi articolul lui Suslin (în limba franceză):

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm4124.pdf