Profesor: Mihai Sabac
1. Definitia masuri, masurii exterioare si a multimilor masurabile in raport cu o masura exterioara.
2. Enuntul si demonstratia teoremei lui Egorov.
3. Enuntati teorema de integrare a sirurilor monotone si teorema de convergenta dominata.
4. Care este clasa functiilor care pot fi aproximate cu functii etajate masurabile Borel?
5. Teorema lui Tonelli. Enunt si demonstratie.
6. Fie \( ( [0,1], \mathcal{M}_{[0,1]}, \lambda ) \), \( \lambda \) este masura Lebesgue, \( \mathcal{M}_{[0,1]} \) familia submultimilor lui \( [0,1] \) care sunt masurabile Lebesgue. Pentru orice \( n\in\mathbb{N}^{*} \) se considera \( f_{n};[0,1]\to\mathbb{R} \), \( f_{n}(x)=x^{n}\forall x\in [0,1] \). Sa se arate ca sirul \( (f_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}} \) nu converge uniform, dar converge asimptotic uniform.
7. Fie \( \lambda \) masura Lebesgue pe \( \mathbb{R} \) si \( A\in\mathcal{M}_{\mathbb{R}} \) astfel incat \( \lambda(A)=1 \). Sa se arate ca exista \( B\in\mathcal{M}_{\mathbb{R}} \), cu \( B\subset A \), astfel incat \( \lambda(B)=\frac{1}{2} \).
8. Sa se calculeze \( \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{|-x|}}{x^2+n}d\lambda (x) \), unde \( \lambda \) este masura Lebesgue pe \( \mathbb{R} \).
9. Sa se arate ca functia ....va fi postat cat de curand
