mateforum.ro

Fie \( z \in \mathbb{C}^* \) astfel incat \( |z-a| + |z-bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \), unde \( a , b \in \mathbb{R}^* \). Aflati \( \min |z| \) .

Test, TABARA DE MATEMATICA, Zalau, 4-7 Februarie 2008

Fie Z(z) A(a) B(bi) si originea O(0).
|z-a|=AZ |z-bi|=BZ \( \sqrt{a^2+b^2} \)=AB
Rezulta ca AZ+BZ=AB, deci \( Z\in [AB] \)
|z| minim pentru Z piciorul inaltimii din O pe AB in triunghiul dreptunghic OAB, deci \( |z|_{min}=\displaystyle\frac{a\cdot b}{\sqrt{a^2+b^2}} \)