mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to R \) continua cu \( f(0)=f(1) \). Aratati ca exista \( c \in (0,1) \) astfel incat
\( \int_0^c f(t)dt=cf(c) \).

Cezar si Tudorel Lupu, Lista scurta ONM 2005

Din teorema lui Weierstrass avem ca f e marginita si isi atinge marginile. Fie \( a,b \in (0,1) \) astfel incat \( f(a)=\min f(x) \), \( f(b)=\max f(x) \). Fie \( g(a)= \int_{0}^{a}f(t)dt=af(c_{1}) \) (din teorema de medie).
\( \frac{g(a)}{a}=f(c_{1}) \Rightarrow \frac{g(a)}{a}-f(a)=f(c_{1})-f(a) \geq 0 \)
Analog
\( g(b)= \int_{0}^{b}f(t)dt=bf(c_{2}) \Rightarrow \frac{g(b)}{b}-f(b)=f(c_{2})-f(b) \leq 0 \)
Construim functia \( h(x)= \frac{g(x)}{x}-f(x) \), h continua cu \( h(a) \geq 0 \) si \( h(b) \leq 0 \). Deci \( h(a)h(b) \leq 0 \Rightarrow \exists c \in (a,b) \) astfel incat \( h(c)=0 \) de unde rezulta concluzia.
Daca unul dintre extreme este in 0, din ipoteza avem ca \( f(0)=f(1) \), deci aplicand metoda de mai sus gasim puncte in intervalele \( (a,1) \) respectiv \( (b,1) \) cu proprietatea ceruta. Astfel se incheie demonstratia.

Si apropo de "asemanari" intre probleme ...Nu vi se pare ca aceasta cam seamana cu problema 3 de la ONM din 1973?

De fapt e aceeasi problema. Na...., asta e... mai cade omul peste probleme care s-au mai dat... Problema de care zici tu a fost propusa de Dan Radu la ONM 1973, insa nu este altceva decat transpunerea teoremei de medie a lui Flett (vezi postul regretatului profesor Alexandru Lupas a.k.a. flip2004) pentru primitiva.
Solutia mea la problema pe care am propus-o este oarecum asemnatoare cu a ta.

Multzumesc pentru teorema. Poate ajuta! nu se stie niciodata...