mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to [0, \infty) \) o functie integrabila si convexa astfel incat

\( \int_0^1f(x)dx=0 \).

Sa se arate ca \( f(x)=0,\forall x\in (0,1) \).

Presupunem ca exista un punct a din \( (0,1) \) unde \( f(a)>0 \). Fiind convexa, pe o vecinatate a lui a este continua, deci este strict pozitiva pe o vecintate, ceea ce contrazice ipoteza.