mateforum.ro

Exista vreo demonstratie mai accesibila pentru formula lui Euler: \( e^{ix}=\cos x+i\sin x \)?

Cat de accesibila vrei Andrei? Eu stiu una care se invata la primul curs de Analiza Complexa si care foloseste dezvoltarea in serie Taylor, anume:

Se stie ca daca avem un numar complex \( z\in\mathbb{C} \) atunci

\( e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} \). In cazul nostru, pentru \( z=ix \), avem ca

\( e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{n}}{n!}=\left(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots\right)+i\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots\right). \). Prima reprezinta dezvoltarea in serie Taylor a lui \( \cos \), iar a doua este cea a lui \( \sin \) de unde rezulta relatia lui Euler pe care ai pus-o tu la inceput.