Page 1 of 1
O inegalitate cu H intr-un triunghi ascutitunghic
Posted: Sun Feb 17, 2008 5:25 pm
by Virgil Nicula
Sa se arate ca intr-un triunghi ascutit \( ABC \) avem \( \frac {HA^2+HB^2+HC^2}{HA+HB+HC}\ge R \),
unde H este ortocentrul si R este raza cercului circumscris triunghiului dat.
Re: O inegalitate cu H intr-un triunghi ascutitunghic
Posted: Sun Feb 17, 2008 9:42 pm
by Cezar Lupu
Virgil Nicula wrote:Sa se arate ca intr-un triunghi ascutit \( ABC \) avem \( \frac {HA^2+HB^2+HC^2}{HA+HB+HC}\ge R \),
unde H este ortocentrul si R este raza cercului circumscris triunghiului dat.
Solutie.
Folosind cunoscuta relatie valabila in orice triunghi
\( ABC \),
\( AH=2R\cos A \) si analoagele, inegalitatea data este echivalenta cu:
\( 2(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C)\geq\cos A+\cos B+\cos C \).
Pe de alta parte, din identitatea
\( \cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1 \), ceea ce ramane de demonstrat este:
\( \cos A+\cos B+\cos C+4\cos A\cos B\cos C\leq 2 \),
inegalitatea care reise imediat din cunoscutele inegalitati valabile in orice triunghi ascutitunghic,
\( \cos A+\cos B+\cos C\leq\frac{3}{2} \) si
\( \cos A\cos B\cos C\leq\frac{1}{8} \).
\( \qed \)