mateforum.ro

Fie \( A\in M_{m,n}(\mathbb{R}) \). Sa se arate ca \( \det(A^tA)\geq 0 \).

Observatii
1. O solutie se poate da folosind formula Binet-Cauchy.
2. Se poate insa si mai simplu, folosind polinomul caracteristic al matricei \( -A^tA \) si aratand ca nu poate avea radacini pozitive.

Fie \( A\in M_{m,n}(\mathbb{C}) \). Sa se arate ca \( \det(AA^h)\geq 0 \).

Va fi suficient sa aratam ca valorile proprii ale matricei \( AA^h \) sunt reale si nenegative pentru orice matrice complexa A.
Fie \( a \) o valoare proprie a matricei \( AA^h \). Atunci exista un vector coloana nenul \( X \) astfel incat \( AA^hX=aX. \) Rezulta \( X^hAA^hX=aX^hX \) si notand cu \( Y=X^hA \) ultima relatie se scrie echivalent \( YY^h=aX^hX \) adica \( ||Y||^2=a||X||^2 \) de unde si concluzia.
Acum daca A reala avem ca \( A^h=A^t. \)

Observatii: 1) \( A^h=(\overline{A})^t. \)
2) O generalizare a acestei probleme o gasiti aici http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=1105