Page 1 of 1
Functie bijectiva care nu poate fi rationala
Posted: Mon Feb 18, 2008 3:58 am
by bae
Fie \( a,b\in\mathbb{R} \), \( a<b \) si o functie bijectiva \( f:\mathbb{R}\to(a,b) \). Sa se arate ca \( f \) nu este functie rationala.
GM 1/1999
Posted: Wed Feb 20, 2008 5:09 pm
by Radu Titiu
Presupun ca f e functie rationala, deci exista doua polinoame P,Q cu coeficienti reali a.i. \( f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \) pentru orice x real. Deoarece f e definita pe multimea numerelor reale rezulta ca polinomul Q nu poate avea valoarea 0 oricare ar fi x real, deci deg(Q) e un numar par.
Daca deg(P)>deg(Q) atunci \( \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm \infty \), contradictie cu marginirea lui f.
Deoarece f injectiva si continua rezulta f strict monotona, de aici rezulta ca \( a,b \in \{ \lim_{x\to\infty} f(x),\lim_{x\to-\infty}f(x)\}. \)
Daca deg(P) \( \leq \) deg(Q) atunci \( \lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x), \) adica tocmai \( a=b \), contradictie.