mateforum.ro

1. Sa se arate ca pentru oricare doua numere complexe \( \alpha\ne 0 \) , \( \beta\ne 0 \) exista echivalenta :

\( |\alpha +i\cdot \beta |=|\alpha -i\cdot\beta | \) \( \Longleftrightarrow \) \( (\exists )\ r\in \mathbb R \) , \( r\ne 0 \) astfel incat \( \beta =r\cdot\alpha \) , adica \( \alpha\cdot\overline {\beta}\in\mathbb R \) .

2. Fie numerele complexe \( \omega\ne 1 \) si \( \alpha \) , \( \beta \) , \( \gamma \) pentru care \( \left\{\begin{array}{c}
\alpha +\beta +\gamma =\omega +2\\\\
\alpha\cdot\beta\cdot\gamma =\omega -2\end{array} \) .

Sa se arate ca exista \( z\in\left\{\alpha , \beta , \gamma \right\} \) astfel incat \( |z|>1 \) .

1. Notez \( a=\alpha \), \( b=\beta \) ca sa fie mai usoara scrierea in Latex
Avem \( |a+ib|=|a-ib|\Leftrightarrow |a+ib|^2=|a-ib|^2 \Leftrightarrow \)
\( (a+ib)(\overline{a}-i\overline{b})=(a-ib)(\overline{a}+i\overline{b})\Leftrightarrow |a|^2+|b|^2+ib\overline{a}-ia\overline{b}=|a|^2+|b|^2-ib\overline{a}+ia\overline{b}\Leftrightarrow \)
\( \overline{a}b=\overline{b}a\Leftrightarrow \overline{b}a=\overline{(\overline{b}a)}\Leftrightarrow \overline{b}a\in R \).
Cu asta, problema e rezolvata.

2. La fel, pentru a simplifica scrierea in Latex notam \( a=\alpha \), \( b=\beta \), \( c=\gamma \) \( o=\omega \).
Presupunem prin absurd ca \( |a|,|b|,|c|\leq 1 \).
Avem \( |o+2|=|a+b+c|\leq|a|+|b|+|c|\leq 3 \) si \( |o-2|=|a||b||c|\leq 1 \)
Avem deci \( |o+2|\leq 3 \) si \( |o-2|\leq 1 \), rezulta deci ca punctul P de afix o se afla in interiorul sau pe circumferinta cercului de centru (-2,0) si raza 3 si in interiorul sau pe circumferinta cercului de centru (2,0) si raza 1. Dar aceste doua cercuri au ca unic punct comun punctul de coordonate (1,0), deci \( o=1 \) este unica solutie posibila. Dar din problema \( o\neq 1 \), deci presupunerea facuta este falsa, si deci unul dintre numerele a,b,c are modulul 1.

Sau, o alta varianta pentru sfarsitul demonstratiei:
Din \( |o+2|\leq 3 \) si \( |o-2|\leq 1 \) avem \( 4\geq |o+2|+|o-2|=|o+2|+|2-o|\geq 4 \) De aici avem egalitate in toate inegalitatile folosite, deci \( |o-2|=1 \) \( |o+2|=3 \)
De aici este absolut la fel, avem cele doua cercuri, de data aceasta punctul P(o) trebuie sa fie pe circumferinte, situatia e identica si ne conduce la aceeasi contradictie.