mateforum.ro

Fie \( ABCD \) inscriptibil si \( P \in AD \cap BC \), \( Q \in AB \cap CD \) iar \( E \) astfel încât \( ABCE \) este paralelogram. Daca \( F \in CE \cap PQ \), atunci \( D, E, F, Q \) sunt conciclice.

Geoffrey Smith, Olimpiada Judeteana 2008

Solutie. Voi demonstra ca \( ABCD \) este ciclic daca si numai daca \( DEFQ \) este ciclic.
Intr-adevar, mai întâi \( \frac{CF}{BQ} = \frac{PC}{PB} \), apoi din Menelaus \( \frac{QA}{AB} \cdot \frac{PB}{PC} \cdot \frac{CD}{DQ} = 1 \), deci din aceste doua relatii \( CF = BQ \cdot \frac{QA}{AB} \cdot \frac{CD}{QD} \). Astfel \( \frac{CE \cdot CF}{CD \cdot CQ} = \frac{AB \cdot BQ \cdot QA \cdot CD}{CD \cdot QC \cdot AB \cdot QD} = \frac{QA \cdot QB}{QD \cdot QC} \), deci \( \frac{CE \cdot CF}{CD \cdot CQ} = \frac{QA \cdot QB}{QD \cdot QC} \). In final, utilizând puterea punctului fata de un cerc, rezulta concluzia.

Aici este o alta varianta de solutie, in esenta asemanatoare cu cea de mai sus. Din puterea punctului, problema revine la a arata ca \( CE\cdot CF=CD\cdot CQ \) \( (1). \) Sa exploatam faptul ca \( ABCE \) este paralelogram. Avem de aici ca \( CE=AB \) si \( CF\parallel BQ. \) Din \( \bigtriangleup PCF \) gasim \( \frac{BQ}{CF}=\frac{PB}{PC}, \) deci \( CE\cdot CF=\frac{QB\cdot PC}{PB}\cdot AB \) iar relatia \( (1) \) este echivalenta cu \( QB\cdot PC\cdot AB=PB\cdot CD\cdot CQ. \) Folosind asemanarea \( \bigtriangleup PAB\sim\bigtriangle PCD\Rightarrow AB=\frac{PB\cdot CD}{PD}, \) iar relatia \( (1) \) este echivalenta in continuare cu \( \frac{QB}{QC}=\frac{PD}{PC}. \) Din \( \bigtriangleup QAD\sim\bigtriangle QCB \) si \( \bigtriangleup PAB\sim\bigtriangle PCD\Rightarrow\frac{QB}{QC}=\frac{QD}{QA} \) si \( \frac{PD}{PC}=\frac{PB}{PA}. \) Totul rezulta acum din Teorema Sinusurilor aplicata in triunghiurile \( PAB \) si \( QAD. \)