mateforum.ro

Fie \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx \). Sa se arate ca exista \( c \in (0,1) \) astfel incat \( f(c)=\int_0^cf(x)dx \)

Cezar Lupu, Olimpiada judeteana 2008

Interesant...acum ma uitam pe solutia oficiala si ea nu-mi apartine. Mi se pare ca cei care au dat-o se complica un pic.

Solutie.
Consideram functia derivabila \( \psi:[0,1]\to\mathbb{R} \), definita prin
\( \psi(t)=t\int_0^tf(x)dx-\int_0^txf(x)dx \).
Un calcul simplu arata ca
\( \psi\prime(t)=\int_0^tf(x)dx \).
Mai mult avem ca \( \psi(0)=\psi(1)=0 \), deci conform cu teorema lui Rolle, rezulta ca exista \( \lambda\in (0,1) \) astfel incat \( \psi\prime(\lambda)=0 \), i.e.
\( \int_0^{\lambda}f(x)dx=0 \).
Acum, construim functia \( \varphi:[0,1]\to\mathbb{R} \) definita prin
\( \displaystyle\varphi(t)=e^{-t}\int_0^tf(x)dx \).
Derivata functiei este
\( \varphi\prime(t)=e^{-t}\left(f(t)-\int_0^tf(x)dx\right) \).
Din nou, avem ca \( \varphi(0)=\varphi(\lambda)=0 \). Aplicand, din nou, teorema lui Rolle pe intervalul \( (0, \lambda) \) obtinem existenta lui \( c\in (0, \lambda) \) astfel incat \( \varphi\prime(c)=0 \), i.e.
\( f(c)=\int_0^cf(x)dx \). \( \qed \)

EDIT: Dupa o discutie avuta cu Claudiu Raicu, am decis sa retrag solutia 2 de pe forum datorita unei greseli minore gasita in ultima fraza.

Lema. Fie functia derivabila \( g\ :\ [0,1]\rightarrow \mathbb R \) pentru care \( g(0)=0 \) si
\( \int_0^1g(t)\mathrm {dt}=0 \) . Sa se arate ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( g^{\prim}(c)=g(c) \) .
Demonstratie. \( \int_0^1g(t)\mathrm {dt}=0 \) \( \Longrightarrow \) exista \( u\in (0,1) \) astfel incat \( g(u)=0 \) .
Notam \( h(x)=e^{-x}\cdot g(x) \) , \( x\in [0,1] \) . Se observa ca \( h^{\prim}(x)=e^{-x}\cdot\left[g^{\prim}(x)-g(x)\right] \) ,

\( h(0)=h(u)=0 \) . Deci exista \( c\in (0,u)\subset (0,1) \) astfel incat \( h^{\prim}(c)=0 \) , adica \( g^{\prim}(c)=g(c) \) .

Foarte interesant, Cezare ! Aplicand lema de mai sus, prin substitutia \( g\ :\ =\ F \)

- primitiva functiei continue \( f\ :\ [0,1]\rightarrow\mathbb R \) , \( F(0)=0 \) se obtine problema propusa la \( \mathrm {O.J.M.} \) Intr-adevar,

\( F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm {dt} \) , \( F(1)=\int_0^1f(t)\mathrm {dt} \) , \( 0=\int_0^1F(t)\mathr{dt}=F(1)-\int_0^1tf(t)\mathrm{dt} \) \( \Longrightarrow \) \( \int_0^1f(t)\mathrm {dt}=\int_0^1tf(t)\mathrm{dt} \) .

Matematica-i o monstruoasa tautologie !

Nu-mi amintesc cine a spus-o prima data, dar eu o stiu de la acad. Gr. Moisil.

Variatiuni pe aceeasi tema !
Fie \( n\in\mathbb N^* \) si functia continua \( f\ :\ [0,1]\rightarrow\mathbb R \) pentru care \( \int_0^1f(t) \mathrm {dt}=0 \) .
Sa se arate ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( n\cdot\int_0^cf(t)\mathrm {dt}+c^{n+1}\cdot f(c) =0 \) .

Consideram \( h(x)=e^{\frac{-1}{x^n}}\int_0^x f(t)\mathrm{dt} \) pentru x din (0,1] si h(0)=0. h este continua pe [0,1], derivabila pe (0,1) si h(0)=h(1). Aplicam Rolle pe [0,1] si dupa ce aranjam putin derivata obtinem rezultatul specificat de domnul Virgil Nicula. Este corect? Topicul era altul insa nu m-am putut abtine...