mateforum.ro

Posted: **Sun Sep 30, 2007 2:32 pm**

Sa se arate ca in triunghiul \( ABC \) avem echivalenta

\( A=90^{\circ} \) daca si numai daca \( 1+\cos B+\cos C=\frac {r_a}{R} \)

(\( r_a \) este raza cercului exinscris corespunzator varfului \( A \) si \( R \) este raza cercului circumscris triunghiului \( ABC \) ).

Posted: **Sun Sep 30, 2007 2:51 pm**

Adunand \( \cos{A} \) si folosind \( \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=1 + \frac{r}{R} \), obtinem

\( 1+\cos B+\cos C=\frac {r_a}{R} \Leftrightarrow 2R+r=r_{a} \).

Pe de alta parte, \( r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r \), deci \( 2R+r=r_{a} \Leftrightarrow 2R=r_{b}+r_{c} \Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{2R}{S} = \frac{abc}{2S^{2}} \Leftrightarrow \) \( bc=2p(p-a) \Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2} \Leftrightarrow A = 90^{\circ} \).

mateforum.ro

Caracterizare a unghiului drept intr-un triunghi

Caracterizare a unghiului drept intr-un triunghi