mateforum.ro

Daca \( A\in \mathbf{M_{2}{(\mathbb{R})}} \), sa se arate ca \( \det(A^{2}+A+I_{2})\geq\frac{3}{4}({1-\det A})^{2} \).

Dan Nedeianu, Olimpiada judeteana 2008

Eu am dat urmatoarea solutie (sa-mi spuneti daca e bine, ca mie nu mi s-a punctat):

Fie \( x \), \( y \) valorile proprii ale lui A. Atunci \( x^2+x+1 \), \( y^2+y+1 \) sunt valorile proprii ale matricei \( A^2+A+I_2 \). Avem deci \( \det (A)=xy, \) \( \det(A^2+A+I_2)=(x^2+x+1)(y^2+y+1) \).
Inegalitatea devine
\( (x^2+x+1)(y^2+y+1) \geq\ \frac{3}{4}(1-xy)^2 \)

\( 1 + x + x^2 + y + x y + x^2 y + y^2 + x y^2 + x^2 y^2 \geq\ \frac{3}{4} (1-2xy+x^2y^2) \)

\( \frac{x^2y^2}{4} +x^2+y^2+x^2y+xy^2+\frac{5}{2}xy +x+y+\frac{1}{4} \geq\ 0 \)

\( (\frac{1+xy}{2} +x+y)^2 \geq\ 0 \).

De remarcat totuşi că soluţia nu este chiar completă. Lipseşte faplul că x,y sunt reale sau complexe conjugate şi deci \( \frac{1+xy}{2} +x+y \) este real.

Mi se pare evident...deoarece matricea este din \( M_{2}(R) \). Deci acel polinom are coeficienti reali, deci radacinile sunt conjugate.

aleph wrote:De remarcat totuşi că soluţia nu este chiar completă. Lipseşte faplul că x,y sunt reale sau complexe conjugate şi deci \( \frac{1+xy}{2} +x+y \) este real.

Cum \( A\in M_{n}(R) \) \( \Rightarrow \) \( tr{A}\in {R} \) si \( \det{A}\in{R} \) inseamna ca \( x+y\in{R} \) si \( xy\in{R} \), unde \( x \) si \( y \) sunt valorile proprii ale lui \( A \).
Treaba asta nici nu ar trebui sa fie explicata...doar nu a ajuns olimpiada judeteana precum o banala lucrare de clasa, in care trebuie sa explici totul extrem de detaliat.