mateforum.ro

Fie \( m,n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \) si \( A \) un inel finit cu \( 0 \neq 1 \), cu proprietatea ca \( x^{m}=x^{n} \Rightarrow x \in \{0,1\} \). Sa se arate ca \( A \) este corp.

M. Andronache, I.Savu OJM 2000

Folosim PROPOZITIA:

,, Intr-un inel finit A avem relatia \( A^{\ast}=U(A)\cup D(A) \) unde U(A) este multimea elementelor inversabile iar D(A) este multimea divizorilor lui zero ''

In cazul nostru daca, prin absurd, ar exista un divizor al lui zero, a, atunci:

1) Daca a este nilpotent, fie \( p\ge 2 \) cel mai mic exponent astfel incat \( a^p=0 \).

Avem \( b^m=b^n=0 \) unde \( b=a^{p-1}\in A\setminus \{0,1\} \) ceea ce este o contradictie.

2) Daca a nu este nilpotent atunci exista \( p,q \in\mathbb{N}^{\ast} , p>2q \) astfel incat \( a^p=a^q \) deoarece \( \{a^k|k\in \mathbb{N}^{\ast}\} \) este finita (demonstrati).

Atunci pentru \( b=a^{p-q}\in A\setminus\{0,1\} \), \( b^2=b \), deci \( b^m=b^n \), contradictie.

Asadar A nu are divizori ai lui zero deci este corp.