mateforum.ro

Fie \( f:X\to Y \) o aplicatie finita, plata si surjectiva de varietati algebrice. Daca E este un fibrat vectorial pe X, atunci \( f_*E \) este un fibrat vectorial pe Y.

Adică dacă \( E \) e local liber de rang finit atunci şi \( f_*E \) e local liber de rang finit?

Nu cred ca joacă vreun rol surjectivitatea, dar poate mă înşel . După ce reducem la un deschis afin al lui \( Y \), problema arată aşa: avem un inel comutativ Noetherian (numai de ipoteza asta am nevoie) \( A \) (corespunzător deschisului afin pe \( Y \)), şi o \( A \)-algebră plată şi întreagă \( B \) (corespunzătoare deschisului afin \( f^{-1}(\mbox{Spec}~B) \) al lui \( X \)). Mai avem un \( B \)-modul proiectiv finit generat \( M \). Vrem să arătăm că \( M \) e proiectiv şi finit generat şi ca \( A \)-modul.

\( M \) e finit generat peste \( A \) pentru că e finit generat peste \( B \) şi la rândul lui \( B \) e finit generat peste \( A \) (fiind întreg şi de tip finit peste \( A \)). Pentru module finit generate peste inele Noetheriene comutative, plat e totuna cu proiectiv (şi echivalent cu local liber). Acum faptul că \( M \) e proiectiv (adică plat) peste \( A \) rezultă din "tranzitivitatea platitudinii" (adică plat peste algebră plată inseamnă plat ).

Surjectivitatea cred ca este o consecinta. Am pus surjectivitatea acolo fiindca strict vorbind si imersiile inchise sunt finite, dar nu cred ca sunt plate fiindca platitudinea implica o egalitate a dimensiunilor fibrelor si pe acolo sunt si fibre vide. Sau pentru ceva mai algebric, un cat \( A\to A/I \) nu e niciodata plat (chiar daca e finit generat ) fiindca aplicatia \( A\to A \) indusa de multiplicarea cu un nonzero divizor din I nu ramane injectiva dupa tensorizarea cu \( A/I \). Si nu vreau sa ma gandesc ce se intampla daca I e format numai din zero divizori. Nu lucrez cu asa ceva in geometria algebrica.