Serie cu functia lui Liouville
Posted: Sun Mar 09, 2008 2:31 am
Daca \( \lambda \) reprezinta functia lui Liouville atunci sa se arate ca \( \sum_{n\geq 1}\frac{\lambda(n)}{n^2}=\frac{\pi^2}{15} \).
Adica, formal, avem egalitatea\( \sum_{n \ge 1} \frac{\lambda(n)}{n^2} = \sum_{n \ge 1} \left( \frac{1}{n^2} \cdot \sum_{d|n} \lambda(d) \right) \)
Acum, ar fi corect sa mai spunem ca \( \lambda_n = (-1)^{f(n)} \), cu \( f(n) \) - numarul de divizori primi nedistincti ai lui \( n \), \( f(1) = 0 \). Evident, \( f \) este aditiva, deci \( \lambda \) multiplicativa si deci \( g := \delta \ast \lambda \) (convolutia Dirichlet) multiplicativa, unde \( \delta(n) = 1 \) (clasica). Calculând pe \( g \) doar în puterile de prime, \( g(p^{2\alpha}) = 1 \), \( g(p^{2\alpha + 1}) = 0 \), deci se obtine ca de fapt \( g \) este functia caracteristca a multimii patratelor perfecte în \( \mathbb{Z}_+ \), si astfel suma noastra este
\( \sum_{n \ge 1, n = \alpha^2} \frac{1}{n^2} = \zeta(4) \).
Inlocuind din nou clasicele valori ale lui \( \zeta(2), \zeta(4) \), rezulta ceea ce trebuia.
Acum, tot ce sper e ca \( \sum_{n \ge 1} \frac{\lambda(n)}{n^2} \) are sens
PS. Numarul \( 2 \) evident ca nu joaca nici un rol, adica se obtine de fapt
\( \sum_{n \ge 1} \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} \), \( s > 1 \).
Vezi articolul de aici (cu toate ca are un numar mai redus de amanunte).