Page 1 of 1
Functie de doua ori derivabila si care rezulta marginita
Posted: Mon Mar 10, 2008 6:59 pm
by bogdanl_yex
Fie \( f:R\to R \) o functie de doua ori derivabila cu proprietatea \( f(x) + f^{{\prime}{\prime}}(x)=-xg(x)f^{\prime}(x)) \), \( \forall x \in R \), unde \( g(x) \geq 0, \forall x \in R \). Aratati ca \( f \) este marginita.
Posted: Tue May 13, 2008 2:36 pm
by Bogdan Cebere
Fie \( h(x)=f^2(x)+(f \prime(x))^2 \).
\( h \prime(x)=2f(x)f \prime(x)+2f \prime (x) f \prime \prime (x)=-2xg(x)(f \prime (x))^2 \), deci h este descrescatoare. Observam ca este suficient sa aratam ca f este marginita pe \( R_+ \), deoarece pt valori negative satisface aceeasi relatie. Avem ca \( f^2(x) \leq h(x) \leq h(0) \),deci \( f \) marginita.