mateforum.ro

Fie \( A\in M_2(\mathbb{Q}) \) cu proprietatea ca det\( (A^2-2I_2) \)=0.
Sa se arate ca \( A^2=2I_2 \) si detA=-2.

o sa incerc sa nu folosesc valori proprii direct, insa e foarte probabil sa gresesc la calcule.

Consider polinomul \( p(X) = \det ( A - XI ) \) , care este un polinom de gradul doi, cu coeficienti rationali, monic.
Am ca \( p(\sqrt 2)\cdot p(-\sqrt2)=0 \), insa \( p \in\mathbb{Q}[X] \), deci \( p(\sqrt2)=p(-\sqrt2)=0 \). Atunci \( \det (A\pm \sqrt2\cdot I ) = 0 \).
Aplic teorema Hamilton-Cayley pt matricele \( A+\sqrt2 \cdot I \) si \( A-\sqrt2 \cdot I \) apoi se desfac parantezele si se prelucreaza putin relatiile. Se ajunge la
\( A^2 - A\cdot \mbox{tr}A - 2I=O \). Deci \( \det A = -2 \) (tot din Hamilton-Cayley, de data aceasta pentru \( A \)).
Acum folosindu-ma de asta, prin inlocuire se obtine si ca \( \mbox{tr}A=0 \). De aici rezulta si ca \( A^2=2I \).

stiu ca am omis calculul, dar e destul de rapid. eu sper ca e si corect.

E corect!

Dar era mult mai simplu daca din \( p(\sqrt2)=p(-\sqrt2)=0 \) trageam concluzia ca \( X^2-2 \) divide \( p \) si fiind monice si de acelasi grad sunt egale. Acum totul este imediat fara sa mai facem nici un calcul!

Da, interesante solutii, dar sa zicem ca exista un elev care nu stie ce-i acela polinom caracteristic. E posibil si asta, nu? Atunci mai putem face si asa:

Fie matricea \( A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right), \) unde \( a, b, c, d\in\mathbb{Q} \). Un calcul simplu arata ca avem
\( A^{2}=\left(\begin{array}{cc}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+dc}&{bc+d^2}\\\end{array}\right). \)
Mai departe, avem ca \( A^{2}-2I_{2}=(A+\sqrt{2}I_{2})(A-\sqrt{2}I_{2}) \), iar cum din ipoteza avem ca det\( (A^2-2I_{2})=0 \) rezulta sau ca det\( (A-\sqrt{2}I_{2})=0 \) sau ca det\( (A+\sqrt{2}I_{2})=0 \). Sa zicem ca suntem in primul caz. Avem matricea \( B=(A-\sqrt{2}I_{2})=\left(\begin{array}{cc}a-\sqrt{2}&b\\c&d-\sqrt{2}\\\end{array}\right) \). Calculand determinatul matricei \( B \) si egalandu-l cu zero, vom avea ca \( (a-\sqrt{2})(d-\sqrt{2})-bc=0 \) care este echivalenta cu
\( (ad-bc)-\sqrt{2}(a+d)+2=0 \) care este echivalenta cu det\( A+2-\sqrt{2}Tr(A)=0 \). Cum det\( A \) si \( tr(A) \) sunt numere rationale, iar \( 1, \sqrt{2} \) sunt liniar independente peste \( \mathbb{Q} \), rezulta imediat ca det\( A=-2 \) si \( tr(A)=0 \). Acum pentru a calcula \( A^2 \) nu e nevoie decat sa aplicam Hamilton-Cayley.