mateforum.ro

Fie \( E \) un spatiu vectorial de dimensiune finita si \( u,v \) doua endomorfisme ale lui \( E \) verificand relatia \( uv-vu=u \).

Calculati \( u^{k}v-vu^{k} \) si aratati ca \( u \) este nilpotent.


Admitere SNSB, 2002

Hai sa traducem un pic problema:

Daca avem doua matrice \( A, B\in M_{n}(\mathbb{C}) \) astfel incat

\( AB-BA=A \). Atunci \( A \) este nilpotenta.

Solutie.

Se poate demonstra destul de usor, prin inductie, ca din relatia din ipoteza,
\( AB-BA=A \) avem \( A^kB-B^kA=kA^k \) pentru \( k\in\mathbb{N}^{*} \). Trecand la urma, avem ca \( 0=\tr(A^kB-B^kA)=\tr(kA^k) \), de unde vom obtine ca \( \tr(A^k)=0 \), \( k\in\mathbb{N}^{*} \). In virtutea acestui topic, va rezulta ca \( A^n=O_{n} \) \( \qed \).

Era cam prin 1983 cand la unul din seminariile de Teoria Operatorilor (se
tineau in Sala Rotonda de la etajul al II-lea al Facultatii), in expunerea lui
Mihai Sabac a aparut aceasta problema. Demonstratia era data folosind
spectrele operatorilor (era vorba de problema in spatii infinit
dimensionale). Mi-am adus atunci aminte ca intalnisem niste formule
interesante de iterare si am gasit solutia urmatoare pe loc:

Din \( AB-BA=A \) rezulta \( A^nB-BA^n=nA^n \) prin inductie (ca in mai toate solutiile) si apoi folosind norma operatoriala (\( ||X||=\sup_{||x||=1}||Xx|| \) care este submultiplicativa, i.e. \( ||XY||\leq ||X||\cdot ||Y|| \)) deducem \( n||A^n||\leq (||A^nB||+||BA^n||)\leq ||A^n||\cdot ||B||, \) de unde rezulta ca exista \( n \) cu \( ||A^n||=0 \), adica \( A^n=0 \).
Avantajul acestei solutii este ca arata ca proprietatea ramane valabila si in dimensiune infinita.

Radu Gologan