mateforum.ro

Sa se determine functiile \( f:R\to R \) neidentic nule astfel incat \( f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y \) oricare ar fi x si y reale.

\( f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y \)

Pentru \( x=y=0 \) avem \( f(f(0))=f(0) \).
Pentru \( x=0 \), \( y=-f(0) \) avem \( f(0)=f(f(0))-4{f(0)}^2 \).

Din cele 2 relatii rezulta \( 4{f(0)}^2=0 \) adica \( f(0)=0 \).

Pentru \( y=x^2 \) avem \( f(f(x)+x^2)=f(0)+4f(x)x^2=4f(x)x^2 \).
Pentru \( y=-f(x) \) avem \( f(0)=f(x^2+f(x))-4{f(x)}^2 \) echivalent cu \( f(f(x)+x^2)=4{f(x)}^2 \).

Din aceste 2 relatii rezulta \( f(x)x^2={f(x)}^2 \).
Pentru ca \( f(x)\neq0 \) avem \( f(x)=x^2 \).

Am mancat un "4" cand am rezolvato initial .

Probabil se referea de fapt la problema de aici, dar asteptam o confirmare (din nou, sper ca regulile sunt explicite - ori este o problema personala, ori "folclor" evident, ori postezi sursa - dar se încalca "într-o veselie", vad).

Problema seamana intr-adevar extrem de mult cu cea de la OBM 2007, numai ca a fost data in Iran acum 7-8 ani. (Mai bine zis problema de la OBM de anul trecut seamana foarte mult cu aceasta ). Sa revenim:
Solutie. Punem \( y=x^2 \) si avem \( f(f(x)+x^{2})=f(0)+4x^{2}f(x). \) \( (1) \)
Punem \( y=-f(x \)) si obtinem \( f(0)=f(x^{2}+f(x))-4f^{2}(x). \) \( (2) \)
Acum din \( (1) \) si \( (2) \) reiese ca \( f^{2}(x)=x^{2}f(x). \)(De aici \( f(0)=0 \))
Astfel functia ar putea fi \( f(x)=0 \) pt niste \( x\in\mathbb{R} \) sau \( f(x)=x^{2} \) pt niste \( x\in\mathbb{R}. \) Presupunand ca exista \( x\neq 0 \) ai \( f(x)=0 \) obtinem imediat o contradictie, tinand cont de faptul ca noi cautam functii diferite de cea identic nula. Solutia este \( f(x)=x^2. \)