Page 1 of 1
Inca o problema simpla de extrem geometric.
Posted: Sun Mar 16, 2008 3:31 pm
by Virgil Nicula
Fie doua puncte fixe \( B \) , \( C \) si un punct mobil M pentru care m\( (\widehat {BMC})=\phi \) (constant) , \( \phi\ <\ 90^{\circ} \) .
Consideram punctul \( N \) pentru care \( \left\|\ \ \begin{array}{c}
\widehat {NBC}\equiv\widehat {NMB}\\\\
\widehat {NCB}\equiv\widehat {NMC}\end{array} \) (dovediti ca exista \( N \) si este unic !).
Sa se determine pozitia punctului \( M \) pentru care aria triunghiului \( BNC \) este maxima.
Posted: Sat Mar 22, 2008 1:51 pm
by Beniamin Bogosel
Punctul \( N \) este obtinut la intersectia cercurilor care trec prin \( M \) si sunt tangente la \( BC \) in \( B,C \) respectiv.
Daca consideram punctele \( D,E \) ca fiind intersectiile perpendicularei in \( B \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MB \), respectiv a perpendicularei in \( C \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MC \), atunci \( m(\widehat{DME})=m(\widehat{DMB})+m(\widehat{BMC})+m(\widehat{CME})=90^o-m(\hat{B})+90^o-m(\hat{C})+\phi=2\phi<180^o \)
Aceasta relatie este valabila si daca \( m(\hat{B})>90^o \) sau \( m(\hat{C})>90^o \), pentru ca unul dintre unghiurile din suma este \( m(\hat{X})-90^o \), dar din cauza schimbarii intervenite in figura unghiul cautat este acum diferenta unor unghiuri, care dau exact acelasi rezultat. Pe o figura se intelege mai bine ceea ce vreau sa zic.
Prin urmare punctul \( N \) exista si e unic, fiind al doilea punct de intersectie al cercurilor de mai sus, adica simetricul lui \( M \) fata de \( DE \), care este diferit de \( M \) din cele demonstrate mai sus. Mai mult, punctul \( N \) este in interiorul triunghiului \( ABC \) pentru ca \( BC \) este tangenta comuna la cercurile considerate.
Din ipoteza, \( m(\widehat{BNC})=180^o-\phi \) deci constant. Prin urmare \( N \) parcurge un arc de cerc capabil de unghi \( 180^o-\phi \) cu extremitatile in \( B,C \) si situat in semiplanul determinat de \( BC \) si \( M \). Atunci aria triunghiului \( BNC \) este maxima in punctul in care distanta da la \( N \) la \( BC \) este maxima, adica in mijlocul arcului, adica triunghiul \( BNC \) este isoscel. Atunci rezulta usor ca si triunghiul \( MBC \) este isoscel.
Deci pozitia lui \( M \) pentru care aria triunchiului \( NBC \) este maxima este pozitia in care triubghiul \( MBC \) este isoscel. q.e.d.