mateforum.ro

Cum se poate demonstra ca doua matrice care comuta au aceeasi vectori proprii? Deoarece toata lumea spune ca e banala...dar nu vad solutia.

Fie \( \mathbb K=\mathbb R \) sau \( \mathbb C \).
Fie \( A\in \mathcal M_n(\mathbb{K}) \). Un vector propriu al lui \( A \) este o matrice coloana din \( \mathcal M_{n,1}(\mathbb{ K}) \) care verifica
\( (A-\lambda I)X=0_{n,1} \), unde \( \lambda \) este valoare proprie pentru \( A \).

Demonstratia este evidenta pentru ca cele doua matrici \( AB,\ BA \) au aceleasi valori proprii. Atunci \( X \) este vector propriu pentru \( AB \) daca si numai daca exista o valoare proprie astfel incit \( (AB-\lambda I)X=O \) echivalent cu \( (BA-\lambda I)X=O \) echivalent cu \( X \) e vector propriu pentru \( BA \).

Sa inteleg ca din faptul ca AB si BA au aceeasi vectori proprii rezulta ca A si B au aceeasi vectori proprii?

Pai \( AB, BA \) comuta in ipoteza ta, de-aia \( AB \) si \( BA \) au aceiasi vectori proprii.
\( AB,\ BA \) au in general aceleasi valori proprii.

Trebuia sa demnstrez ca A si B au aceiasi vectori proprii? poate ca nu ai inteles bine problema de unde ai auzit-o.

Contraexemplu!
I comuta cu orice matrice A, dar de aici si din cele ce spui tu ar rezulta ca A are aceiasi vectori proprii cu I pentru orice A, ceea ce evident nu este adevarat.

Intelegi ce vreau sa spun??

Am inteles. Greseala mea. Acum inteleg de ce nu reuseam sa demonstez. Problema era de fapt urmatoarea:
Daca AB=BA, aratati ca A si B au cel putin un vector propriu comun.

Singura solutie pe care o stiu la chestia asta foloseste spatii vectoriale si transformari lineare, ce depasesc clasa a 11-a.

Mi-e teamă că peste \( \mathbb{R} \) nici enunţul al doilea nu e adevărat. Gîndeşte-te la două matrice de rotaţie în plan, în jurul originii.

În paranteză fie spus, nu cred că e bine să vă ocupaţi de probleme de tipul acesta la nivelul liceului. E preferabil să priviţi matricele ca aplicaţii lineare, vectorii proprii să-i legaţi de subspaţii invariante etc. Altfel, problemele se reduc la manipulări (deloc uşoare, uneori) algebrice şi se pierde semnificaţia geometrică şi posibilitatea generalizării.
L.O.

Iata un link catre o generalizare, care in postul al doilea primeste o solutie destul de elementara.
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 97&t=38967