Produsul elementelor intr-un corp finit
Posted: Tue Mar 25, 2008 10:31 pm
Demonstrati ca produsul elementelor nenule intr-un corp comutativ cu n elemente este -1.
In primul rind, un corp cu \( n \) elemente este comutativ, pentru ca este finit, deci nu e necesara ipoteza ca corpul este comutativ.
In al doilea rind, produsul elementelor dintr-un grup comutativ este produsul elementelor care sunt radacini pentru ecuatia \( x^2=1 \), pentru ca celelalte se pot grupa in perechi \( (x,x^{-1}) \) cu produsul elementelor din pereche egal cu 1.
In al treilea rind, intr-un corp ecuatia \( x^2=1\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0 \) are doar radacinile 1 si -1. Astfel produsul cautat este -1.