mateforum.ro

Fie \( c \) o curba plana regulata, simpla si inchisa avand lungimea \( L \) si fie \( S \) aria domeniului \( D \) marginit de curba \( c \). Atunci este adevarata urmatoarea inegalitate
\( L^{2}\geq 4\pi S \).

P.S. Mentionez ca inegalitatea izoperimetrica are loc si fara conditia ca curba \( c \) sa fie regulata.

O demonstratie usor de urmarit si foarte frumoasa pentru cazul poligonului, si anume cand \( L \) este perimetrul unui poligon arbitrar, iar \( S \) aria sa, (desi este cam acelasi lucru privind la limita) poate fi gasita in An Elementary Proof of the Isoperimetric Inequality, Nikolaos Dergiades, Forum Geometricorum, 2002.

Da, Cosmin stiu articolul lui Dergiades. E chiar foarte frumoasa demonstratia lui. Demonstratii pentru aceasta superba inegalitate sunt o groaza.

sunt chiar si generalizari la dimensiunea n pentru aceasta inegalitate
Am vazut f multe demonstratii la inegalitatea izoperimetrica
Cand se poate[ca acu nu stiu cum] o sa atasez articolul [daca il mai gasesc ] cu multe dem

De asemenea exista si o inegalitate inversa : \( L^{2}\leq4\pi S+ 4\pi B \) ,unde B este aria domeniului marginit de evoluta curbei.
Ca un corolar al celor doua inegalitati, o curba ca in ipoteza e cerc daca si numai daca B e 0.