mateforum.ro

Fie ABCD un patrulater inscriptibil şi E punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor din A şi B. Paralela dusă prin punctual E la latura CD intersectează dreptele suport ale laturilor [AD] şi [BC] în punctele M şi respectiv N. Arătaţi că are loc relaţia: |AM|+|BN|=|MN|. (Luthar)

OBS. Am o solutie care include si putina trigonometrie, dar nu o postez decat in cazul in care in decurs de o luna nu vine o solutie din partea altcuiva (a unui elev).

mihai miculita wrote:Fie \( ABCD \) un patrulater inscriptibil si \( E \) punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor din \( A \) si \( B \).

Paralela dusa prin punctual \( E \) la latura \( CD \) intersecteaza dreptele suport ale laturilor \( [AD] \) si \( [BC] \)

în punctele \( M \) si \( N \) respectiv. Aratati ca are loc relatia \( AM+BN=MN \) .

Se observa ca "\( ABCD \) este inscriptibil \( \ \Longleftrightarrow\ \) \( ABNM \) este inscriptibil" deoarece \( MN\parallel CD \).

Dupa parerea mea, punctele \( C \) si \( D \) sunt inutile. Asadar, enuntul se poate simplifica (esentializa !) astfel:

Fie un patrulater convex inscriptibil \( ABCD \) pentru care punctul de intersectie al bisectoarelor

unghiurilor \( A \) si \( B \) se intalnesc pe latura \( [CD] \). Sa se arate ca \( AD+BC=CD \).

Eu am doua solutii, una sintetica si scurta si una trigonometrica si mai laborioasa.

Insa fiind profesor, chiar pensionar, le voi posta cat mai tarziu ... in ordinea varstei.

Site - ul inca-i la inceput si "puii" nostri se misca cam greu, desi problema este usoara, chiar si sintetic.

Va salut cu mult drag pe toti, din Sarasota/Bradenton, Florida !

Un enunt echivalent \( E1. \) Prin centrul \( I_a \) al cercului \( A \) - exinscris triunghiului \( ABC \) se duce

antiparalela \( d \) la latura \( [BC] \). Notam \( \left\{\begin{array}{c}
M\in d\cap AB\\\\
N\in d\cap AC\end{array} \). Sa se arate ca \( BM+CN=MN \).

Un enunt echivalent \( E2. \) Prin centrul \( I \) al cercului inscris triunghiului \( ABC \) se duce

antiparalela \( d \) la latura \( [BC] \). Notam \( \left\{\begin{array}{c}
M\in d\cap AB\\\\
N\in d\cap AC\end{array} \). Sa se arate ca \( BM+CN=MN \).

Fie \( E \) intersectia celor 2 bisectoare si \( S \) a doua intersectie a cercului circumscris triunghiului \( ABE \) cu \( CD \).
\( \hat{BSC}=\hat{A}/2 \), \( \hat{SBC}=180-\hat{C}-\hat{A}/2=\hat{A}/2 \).
Deci triunghiul \( SBC \) este isoscel. Analog \( SAD \) isoscel si deci \( CD=AD+BC \).

Vezi aici si aici aceeasi frumoasa problema !