Ecuatie diofantiana

[mihai++]

Rezolvati in \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \):
\( x^2 + 3xy - 4y^2 + 2x - 12y - 25 = 0 \).

[Filip Chindea]

x=5; y=2

Imi pare rau, dar nu ai respectat regulamentul ! (mi se pare evident de ce, daca întrebi, mai ales ca asa ceva nu îti va aduce punctele necesare.)

Revenind la problema, avem de-a face cu o ecuatie polinomiala bivariata de grad \( 2 \). Exista o teorie complet finalizata pentru solutionarea acestora pe \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) si, implicit, \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) (vezi topicul de aici care face trimitere la un articol, de exemplu).

Discriminantul \( \Delta = b^2 - 4ac \) al ecuatiei noastre (pentru a o vedea mai usor, am aranjat-o cum trebuie în post-ul initial) este egal cu \( 25 \), care este patrat perfect.

Sa ne uitam la forma generala a ecuatiei,

\( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \), \( a \neq 0 \), \( \Delta = b^2 - 4ac = r^2 \).

Aceasta se rescrie

\( (2ax + by)^2 - (b^2 - 4ac)y^2 + 4adx + 4aey + 4af = 0 \), adica

\( (2ax + by + ry)(2ax + by - ry) + 4adx + 4aey + 4af = 0 \),

care se rezolva utilizând metoda din topicul mentionat mai sus.

Pentru a exemplifica, sa luam chiar cazul nostru,

\( (a, b, c, d, e, f, r) = (1, 3, -4, 2, -12, -25, 5) \),

adica \( (2x + 8y)(2x - 2y) + 8x - 48y - 100 = 0 \),

care, cu substitutiile straightforward \( X := x + 4y \), \( Y := x - y \), unde \( x = \frac{X + 4Y}{5} \), iar \( y = \frac{X - Y}{5} \), devine

\( XY + 2x - 12y - 25 = 0 \),

adica \( 5XY - 10X + 20Y - 125 = 0 \),

echivalent cu \( (X + 4)(Y - 2) = 17 \).

Se obtine facil multimea solutiilor \( (X, Y) \in \{ (-3, 19), (-5, -15), (13, 3), (-21, 1) \} \), adica \( (x, y) \in \{ (-13, 2), (5, 2) \} \cap \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \{ (5, 2) \} \).

Parca asta este alt mod de prezentare a unei solutii, totusi!